Вариант №14, огэ 9 класс, матем. На плане (см. рисунок) изображён торговый комплекс

Вариант № 14

1. Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на схеме. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр.

На плане (см. рисунок) изображён торговый комплекс (сторона каждой клетки на плане равна 5 м). Слева от центрального входа расположен магазин «Обувь», к которому примыкает магазин мужской одежды. В северо‐западном углу расположена «Книжная лавка», а в северо‐восточном углу — магазин бытовой техники. Между «Книжной лавкой» и магазином бытовой техники находится павильон «Игрушки». Между книжной лавкой и магазином мужской одежды — салон сотовой связи. Между центральным и боковым входами — магазин женской одежды. В центре торгового комплекса — магазин «Продукты».

Решение. Слева от центрального входа расположен магазин «Обувь», к которому примыкает магазин мужской одежды, следовательно, магазин «Обувь» отмечен цифрой 1. В северо‐западном углу расположена «Книжная лавка», а в северо‐восточном углу — магазин бытовой техники, значит, магазин бытовой техники отмечен цифрой 6. Между «Книжной лавкой» и магазином бытовой техники находится павильон «Игрушки», следовательно, павильон «Игрушки» отмечен цифрой 5. Между книжной лавкой и магазином мужской одежды — салон сотовой связи, значит, салон сотовой связи отмечен цифрой 3.

Ответ: 3615.

2. Стены магазина «Продукты» по всему периметру снаружи замостили декоративной пластиковой плиткой, которая продаётся в упаковках. Одной упаковки хватает на 7 м². Сколько упаковок потребовалось купить, если высота стен равна 4 м, а площадь двери составляет 8 м² (дверь не покрывается пластиковой плиткой)?

Решение. Найдём периметр магазина «Продукты»:

 м.

Значит, площадь стен равна

 м².

Таким образом, потребовалось купить   упаковок. Округляя в большую сторону, получаем ответ — 68 упаковок.

Ответ: 68.

3. Найдите площадь земли (в м²), которую занимает магазин женской одежды.

Решение. Площадь магазина женской одежды равна

 м².

Ответ: 675.

4. Между выделенными на плане точками необходимо проложить интернет‐кабель (по потолку). Определите наименьшую возможную длину кабеля (в метрах).

Решение. Найдём наименьшую возможную длину кабеля по теореме Пифагора:

 м.

Ответ: 25.

5. Владелец магазина мужской одежды хочет заняться продвижением бренда магазина. В рекламном агентстве предложили три варианта рекламы (см. таблицу).

Владелец выбрал один вид рекламы, самый выгодный по итогам трёх месяцев. Какую прибыль (в тыс. руб.) принесёт этот вид рекламы за три месяца?

Решение. Рассмотрим все варианты.

1. Стоимость создания и продвижения ролика на YouTube равна

 рублей.

Прибыль от ролика на YouTube должна составить

 рублей.

2. Стоимость создания и продвижения ТВ‐ролика равна

 рублей.

Прибыль от ТВ‐ролика должна составить

 рублей.

3. Стоимость создания и размещения рекламного щита равна

 рублей.

Прибыль от рекламного щита должна составить

 рублей.

Таким образом, самым выгодным вариантом по итогам трёх месяцев являются рекламные щиты. Получим ответ в тысячах — 91.

Ответ: 91.

6. Найдите значение выражения 

Решение. Найдём значение выражения:

Ответ: 3328.

7. Значение какого из данных выражений положительно, если известно, что 

1)

2)

3)

4)ab

Решение. Заметим, что  . Имеем:

1)

2)

3)

4)

Ответ: 3

8. Найдите значение выражения   при 

Решение. Упростим выражение

Подставим значения  :

Ответ: -157

9. Решите уравнение 

Решение. Умножим обе части уравнения на 24:

Ответ: −4.

10. В фирме такси в данный момент свободно 30 машин: 1 чёрная, 9 жёлтых и 20 зелёных. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет жёлтое такси.

Решение. Вычислим вероятность, что приедет желтое такси:

Ответ: 0,3.

11. Установите соответствие между функциями и их графиками.

ФУНКЦИИ

А) 

Б) 

B) 

ГРАФИКИ

В таблице под каждой буквой укажите соответствующий номер.

Решение. Определим вид графика каждой из функций:

А)   - уравнение параболы, ветви которой опущены вниз

Б)   - уравнение прямой

B)   - уравнение гиперболы

Найдём для каждого графика функцию: A — 2, Б — 3, В — 1.

Ответ: 231.

12. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I²R , где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 147 Вт, а сила тока равна 3,5 А.

Решение. Выразим сопротивление из формулы для мощности: 

Подставляя, получаем:

Ответ: 12.

13. Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 

2) 

3) 

4) 

Решение. Решим каждое из неравенств:

1)   — решений нет.

2) 

3)   — верно для всех 

4) 

Правильный ответ указан под номером 4.

14. Старший брат договорился с Мишей, что в пятницу он будет готовиться к экзамену по физике, решая задачи из сборника. За первую задачу брат разрешит ему поиграть на своей приставке 10 минут, а за каждую следующую задачу ему можно будет играть на 3 минуты больше, чем за предыдущую. Сколько минут можно будет поиграть Мише в воскресенье, если он решит 8 задач?

Решение. Количество минут игры составляет арифметическую прогрессию с первым членом a₁ = 10 и разностью d = 3, найдем по формуле   сумму арифметической прогрессии первых восьми членов:

 минуты.

Ответ: 164 минуты.

15.

На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 10 и AD = 34, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Решение. Треугольник ABE — прямоугольный, угол EAB равен 45°, поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол BEA равен   Следовательно, треугольник ABE — равнобедренный, поэтому   Найдём отрезок     Из прямоугольного треугольника CED найдём 

Ответ: 26.

16.

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 18°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

Решение.  Введём обозначение, как показано на рисунке. Касательные, проведённые к окружности из одной точки равны, поэтому   следовательно, треугольник ABC — равнобедренный. Откуда   Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую он заключает, значит, дуга AB равна 162°. Угол AOB — центральный, поэтому он равен дуге, на которую опирается, следовательно, равен 162°. Рассмотрим треугольник AOB, он равнобедренный, следовательно, 

Ответ: 9.

17. В ромбе сторона равна 10, одна из диагоналей —  , а угол, лежащий напротив этой диагонали, равен 45°. Найдите площадь ромба, деленную на 

Решение. Площадь ромба равна произведению сторон на синус угла между ними:

Ответ:50.

----------

В открытом банке иррациональный ответ.

18.  На клетчатой бумаге с размером клетки 1х1 изображена фигура. Найдите её площадь.

Решение. Посчитаем количество клеток внутри закрашенной области: их 18.

Ответ: 18.

19. Какие из следующих утверждений верны?

1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.

2) Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.

3) Через любую точку проходит более одной прямой.

4) Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение. Проверим каждое из утверждений.

1) «Если при пересечении двух прямых третьей прямой соответственные углы равны 65°, то эти две прямые параллельны.» — верно, так как если соответственные углы равны, то прямые параллельны.

2) «Любые две прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, две прямые имеют не более одной общей точки.

3) «Через любую точку проходит более одной прямой.» — верно, через одну точку проходит множество пересекающихся в этой точке прямых.

4) «Любые три прямые имеют не менее одной общей точки.» — неверно, любые три прямые, которые не совпадают, если и имеют общую точку, то только одну.

Ответ: 13.

20. Решите неравенство 

Решение. Преобразуем неравенство:

Ответ: 

21. Свежие фрукты содержат 78 % воды, а высушенные — 22 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 22 кг высушенных фруктов?

Решение. Сухая часть свежих фруктов составляет 22 %, а высушенных — 78 %. Значит, для приготовления 22 кг высушенных фруктов требуется   (кг) свежих.

Ответ: 78.

22. Постройте график функции   Определите, при каких значениях m прямая y = m имеет с графиком ровно две общие точки.

Решение. Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая   имеет с графиком функции ровно две общие точки при   и 

Ответ: −0,25; 6,25.

23. Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.

Решение.  Пусть ABCD — данный четырёхугольник, O — середина стороны AB, K — середина стороны BC, P  — середина стороны CD, H — середина стороны DA. Проведём диагонали AC и BD и отрезки OK, KP, PH и HO, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки OK и PH параллельны диагонали AC и равны её половине, а отрезки KP и HO параллельны диагонали BD и равны её половине. Поэтому OKPH — параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали KH и OP равны, то OKPH — прямоугольник, и угол OKP — прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями AC и BD тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника ABCD будет равна половине произведения его диагоналей, то есть

.

Ответ: 6.

24. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты   и  . Докажите, что углы   и   равны.

Решение.  Треугольники   и   имеют общую гипотенузу BC. Поэтому точки   лежат на одной окружности. Углы   и   опираются на одну дугу, и поэтому равны.

25. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины  , в отношении  , считая от точки  . Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если  .

Решение.  Обозначим BH высоту, проведённую из вершины  . Биссектриса, проведённая из угла A, делит высоту в отношении, равному отношению AB и AH. Значит,  , поэтому  . По теореме синусов радиус описанной около треугольника ABC окружности 

Ответ: 41.