Вариант ЕГЭ по математике (профиль)

Профиль

1.

В треугольнике ABC угол C равен 90°,     Найдите 

2. В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 5, а тангенс угла между боковой гранью и плоскостью основания равен   Найти сторону основания пирамиды.

3. На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.

4. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,02. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,99. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,01. Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.

5. Найдите корень уравнения 

6. Найдите   если 

7.

Функция y = f (x) определена и непрерывна на отрезке [−5; 5]. На рисунке изображён график её производной. Найдите точку x₀, в которой функция принимает наименьшее значение, если  f (−5) ≥ f (5).

8. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением   где   и   — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях,   и   — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 256 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

9. Весной катер идёт против течения реки в   раза медленнее, чем по течению. Летом течение становится на 1 км/ч медленнее. Поэтому летом катер идёт против течения в   раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

10.

На рисунке изображён график функции   Найдите a.

11. Найдите наименьшее значение функции 

12. а) Решите уравнение 

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащего отрезку 

13. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 4. На его ребре BB₁ отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C₁ построена плоскость α, параллельная прямой BD₁.

а) Докажите, что A₁P : PB₁ = 2 : 1, где P — точка пересечения плоскости α с ребром A₁B₁.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани BB₁C₁C.

14. Решите неравенство 

15. 15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n + 1) месяц. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;

— cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;

— к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

16. Высоты BB₁ и CC₁ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H.

а) Докажите, что ∠AHB₁ = ∠ACB.

б) Найдите BC, если AH = 4 и ∠BAC = 60°.

17. Найдите все значения a, при которых уравнение

имеет ровно два решения.

18. Известно, что a, b, c, и d — попарно различные положительные двузначные числа.

а) Может ли выполняться равенство 

б) Может ли дробь   быть в 11 раз меньше, чем сумма 

в) Какое наименьшее значение может принимать дробь   если   и