Вероятность и ее свойства

Тема : Вероятность и ее свойства.

Приложение 1

Тема: Событие, вероятность события

Задание: Записать конспект и решить задачи

Определение.  Под событием в теории вероятности понимается то, о чем имеет смысл говорить, что оно происходит (имеет место) или не происходит.

Например:

Событие А = {из ящика с разноцветными шарами вынули шар}

Событие В = {при телефонном вызове абонент оказался занят}

Событие С = {при бросании игрального кубика выпало семь очков}

Все события можно подразделить на достоверные, случайные и невозможные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет. Среди приведенных примеров какое событие является достоверным? (событие А)

Событие называется случайным, если оно может произойти, а может и не произойти. (событие В)

Событие называется невозможным, если оно произойти не может. (событие С)

Определение вероятности: вероятность Р(А) события А равна отношению числа возможных результатов опыта (М), благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов опыта (N): Р(А)=М/N

Aлгоритм решения задач на расчет вероятности:

1. Обозначить событие А;

2. Найти число всевозможных исходов – N;

3. Найти число исходов, благоприятствующих наступлению события – M;

4. Найти искомую вероятность Р(А)=М/N

Пример 1.  В лотерее из 1000 билетов имеются 200 выигрышных. Чему равна вероятность того, что выберешь выигрышный билет?

Решение: Обозначим событие А – вынимание одного билета. Общее число различных исходов  N = 1000. Число исходов, благоприятствующих получению выигрыша, составляет М = 200. Согласно формуле Р(А)=М/N, получим

Р(А) = 200/1000=1/5

Пример 2.  В корзинке лежит 2 белых и 3 чёрных шара. Чему равна вероятность, что выберешь белый шар?

Решение: Обозначим событие А – вынимание черного шара. Общее число различных исходов  N = 2+3=5. Число благоприятных исходов М = 2. Согласно формуле  Р(А)= М/N =2/5.

Задание: Решить задачи

1. В корзинке лежит 5 белых и 7 чёрных шара. Чему равна вероятность, что выберешь белый шар?

2. В корзинке лежит 4 сливы и 8 абрикос. Чему равна вероятность, что выберешь сливу?

Приложение 2

Тема: Сложение и умножение вероятностей

Задание: Записать конспект и решить задачи

Теорема умножения вероятностей 1. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В).

Пример 1. В одной урне находятся 4 белых и 8 черных шаров, в другой – 3 белых и 9 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Решение. Пусть А – появление белого шара из первой урны, а В – появление белого шара из второй урны. События А и В независимы.

Теорема умножения вероятностей 2. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную вероятность второго: Р(АВ) = Р(А) ∙ Р_А(В) = Р(В) ∙ Р_В(А).

Пример 2. В ящике находится 12 деталей, из которых 8 стандартных. Рабочий берет наудачу одну за другой две детали. Найти вероятность того, что обе детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть А – событии, что первая взятая деталь стандартная, В – вторая взятая деталь стандартная.

События А и В зависимы.

Теорема сложения вероятностей 1. Вероятность суммы попарно несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В).

Теорема сложения вероятностей 2. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления, т.е.

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ),

Р(А+В+С)= Р(А) + Р(В) + Р(С) – Р(АВ) – Р(АС) – Р(ВС) – Р(АВС).

Задание: Решить задачи

1. В одной урне находятся 5 белых и 7 черных шаров, в другой – 6 белых и 10 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

2. В одной урне находятся 8 белых и 12 черных шаров, в другой – 3 белых и 4 черных. Из каждой урны вынули по шару. Найти вероятность того, что оба шара окажутся белыми.

Приложение 3

Практическая работа №14

Тема: Вычисление вероятностей

Цель: Обобщить и систематизировать знания по теме «Основные понятия теории вероятностей»

Ход работы

Задача 1. В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.

а) Найти вероятность, что извлекается белый шар

Решение. Рассмотрим событие   – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют   элементарных исходов, поэтому по классическому определению:
 – вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.

Задание: Решить задачи:

1. Найти вероятность, что извлекается красный шар.

2. Найти вероятность, что извлекается черный шар.

Задача 2. В коробке лежат 8 зеленых, 7 синих и 15 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, синим или зеленым.

Решение:

А: взяли синий карандаш

В: взяли зеленый карандаш

С: взяли синий или зеленый карандаш

Событие С равно сумме событий А и В: С = А + В

Вероятность события А равна 

Вероятность события В равна 

Вероятность события С равна 

Задание: Решить задачу

1. В коробке лежат 5 желтых, 4 зеленых и 11 красных карандашей. Вычислить вероятность того, что взятый наугад карандаш будет, желтым или зеленым.

Приложение 4

Тема урока: Понятие о независимости событий

Задание: Записать конспект

Определение: Два события называются независимыми, если вероятность появления одного из них не зависит от того, произошло ли другое событие.

Пример№1: Монета бросается дважды. Вероятность появления герба в первом испытании не зависит от появления или не появления герба во втором испытании и наоборот. Т.е.

событие А – появление герба в первом испытании;

событие В – появление герба во втором испытании.

Эти события независимые.

Пример№2: В коробке 5 белых и 4 черных шара. Из неё наугад берут шар.

событие А – шар белый; вероятность Р(А)=5/9.

Шар кладут обратно. И продолжают эксперимент.

событие В – шар белый; вероятность опять Р(А)=5/9.

Вероятность события А не зависит от вероятности события В, т.о. события А и В независимые.

Приложение 5

Тема урока: Дискретная случайная величина, закон её распределения

Задание: Записать конспект

Определение. Случайной называется величина, которая принимает в результате опыта одно из множества значений, причем появление того или иного значения этой величины до ее измерения нельзя точно предсказать.

То есть если опыт проводить многократно, то будут получены различные значения случайной величины, зависящие от случайных причин, которые невозможно предусмотреть.

Обозначают случайные величины X,Y,Z, а их возможные значения x,y,z.

Пример 1. Сыграно три партии в шахматы. X – число выигранных шахматных партий. Записать возможные значения случайной величины Х.

Решение: Возможные значения x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 3.

Пример 2. Подбрасываем монету. Y – выпадение одной из граней. Записать возможные значения случайной величины Y.

Решение: Возможные значения .

Случайная величина называется дискретной, если множество её значений представляет собой конечную последовательность x₁, x₂,….x_n или бесконечную последовательность x₁, x₂,..x_n,…

Законом распределения случайной величины называют соответствие между возможными значениями и их вероятностями. Его можно задавать таблично, аналитически и графически. Табличное задание закона:

,где x_1,x_2,…x_n– возможности значения случайной величины Х;

p₁,p₂,…p_n – вероятности случайной величины Х.

Приложение 6

Тема урока: Понятия о законе больших чисел

Задание 1: Записать конспект

Закон больших чисел: Для каждого положительного числа r при неограниченном увеличении числа n независимых повторений испытания с двумя исходами вероятность того, что частота k/n появления «успеха» отличается менее чем на r от вероятности p «успеха» в одном отдельном испытании, стремится к единице.

Т. е. среднее арифметическое многих независимых случайных величин сходится к некоторому значению при увеличении числа этих величин.

 Механизм этого прежний — отклонения вправо и влево взаимно погашаются. Именно на этом принципе основано то, что многократное повторение одного и того же приводит к почти предсказуемому результату.

Задание 2: Выполнить тестовые задания

1. Под случайным событием, связанным с некоторым опытом, понимается всякое событие, которое при осуществлении этого опыта

а) не может произойти; б) либо происходит, либо нет;

в) обязательно произойдет.

1. Если событие А происходит тогда и только тогда, когда происходит событие В, то их называют

а) равносильными; б) совместными; в) одновременными;

г) тождественными.

1. Если полная система состоит из 2-х несовместных событий, то такие события называются

а) противоположными; б) несовместными; в) невозможными;

г) равносильными.

1. Опыт с подбрасыванием игральной кости. Событие А₁ – появление четного числа очков. Событие А₂- появление 2-х очков. Событие А₁А₂состоит в том, что выпало

а) 2; б) 4; в) 6; г) 5.

1. Вероятность достоверного события равна

а) 0; б) 1; в) 2; г) 3.

1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В вычисляется по формуле

а) Р(АВ) = Р(А)Р(В); б) Р(АВ) = Р(А)+Р(В) – Р(А)Р(В);

в) Р(АВ) = Р(А)+Р(В) + Р(А)Р(В); г) Р(АВ) = Р(А)Р(А | В).

1. Из 25 экзаменационных билетов, занумерованных числами от 1 до 25, студент наудачу извлекает 1. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если он знает ответы на 23 билета?

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

1. В коробке 10 шаров: 3 белых, 4 черных, 3 синих. Наудачу вытащили 1 шарик. Какова вероятность, что он будет либо белым, либо черным?

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

1. Имеется 2 ящика. В первом 5 стандартных и 1 нестандартная деталь. Во втором 8 стандартных и 2 нестандартные детали. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Какова вероятность того, что вынутые детали окажутся стандартными?

а)  ; б)  ; в)  ; г)  .

1. Из слова «математика» выбирается наугад одна буква. Какова вероятность того, что эта буква «а»?

а)   б)  ; в)  ; г)  .