Видеолекция по теме "Описанная окружность"

1) Первый вопрос, который может возникнуть: описанная – вокруг чего?

И сегодня мы будем рассуждать об окружности, описанной вокруг (иногда ещё говорят «около») треугольника.

Что же это такое?

2) Сначала разберем само определение.

Описанная окружность – это такая окружность, которая проходит через все три вершины треугольника, около которого она описана.

3) И вот, представь себе, имеет место удивительный факт:

Почему этот факт удивительный?

Да потому что треугольники-то бывают разные.

И для всякого найдётся описанная окружность, которая пройдёт через все три его вершины.

4) к примеру, если взять, четырехугольник, то уже вовсе не для каждого найдётся окружность, проходящая через четыре вершины.

Вот, скажем, параллелограмм – отличный четырехугольник, а окружности, проходящей через все его четыре вершины – нет!

А есть только для прямоугольников.

5) Треугольник всегда имеет собственную описанную окружность! И даже всегда довольно просто найти центр этой окружности.

Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров  к сторонам этого треугольника.

6) Знаешь ли ты, что такое серединный перпендикуляр?

7) Серединный перпендикуляр Это прямая, которая проходит через середину отрезка и перпендикулярная ему.

На чертеже мы видим Прямую a – это и есть серединный перпендикуляр к отрезку AB.

8) А теперь посмотрим, что получится, если мы построим целых три серединных перпендикуляра к сторонам треугольника.

Мы видим, что  все три перпендикуляра пересекаются в одной точке, точке О.

9) В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы.  ТО есть Если треугольник – прямоугольный, то не нужно строить аж три перпендикуляра, а можно просто найти середину гипотенузы – и центр описанной окружности готов!

Бонусом идет то, что в прямоугольном треугольнике радиус описанной окружности равен половине гипотенузы.

Ну и Раз уж заговорили о радиусе описанной окружности, то объясню как его вычислить для произвольного треугольника.

10) Для нахождения радиуса описанной окружности мы будем пользоваться теоремой синусов.

То есть по этой теореме удвоенный радиус равен стороне, деленной на синус противоположного угла.

Видим, например, что два радиуса равны стороне а, деленной на синус угла А.

Так что ты теперь всегда сможешь найти и центр, и радиус окружности, описанной вокруг треугольника. То есть чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать только одну (!) сторону и один (!) противолежащий ей угол.