Қостанай облысы Қостатай ауданы әкімдігінің
«Мичурин орта мектебі» ММ
ГУ «Мичуринскаясредняяшкола»
Отделаобразования акимата Костанайского района, Костанайскойобласти
Векторы в пространстве
Методическое пособие
10-11 классов
с. Мичуринское
УДК 371.3
ББК 74.262.21
В27
Рецензентты:
Вельченко О. А Магистр математики, старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин
Костанайского филиала ФГБОУ ВПО
«Челябинский государственный университет»
Альмагамбетова М.К Заместитель директора по учебной работе
ГУ «Мичуринская средняя школа»
Векторы в пространстве: Методическое пособие/сост: З. А. Альмагамбетова.-Костанайскаяобласть, Костанайскийрайон, 2016.- 32.с.
ISBN 978-601-316-177-8
Пособие предназначено для более подробного изучения темы «Векторы в пространстве» по стереометрии за курс 10-11 классов общеобразовательной школы. Данное пособие может быть использовано учителями математики средних школ при обучении школьников решению векторных задач, а также студентами математических специальностей педагогических институтов.
УДК 371.3
ББК 74.262.21
©Альмагамбетова З. А.,2016
Введение.
Данное пособие адресовано в первую очередь тем, кто желает успешно подготовиться к ЕНТ по математике.
Цель нашего пособия - рассмотреть примеры решения некоторых стереометрических задач, предлагаемых на ЕНТ, которые позволят лучше понять и запомнить векторный и координатный способы решения геометрических задач.
Данное пособие включает в себя перечень основных формул на применение координат и векторов при вычислении расстояний, углов, площадей и объёмов в стереометрических задачах. Затем приводятся примеры решения задач различного уровня сложности и упражнения для самостоятельного решения (с ответами). Задания взяты из различных сборников ЕНТ.
Рекомендации по работе с пособием:
-
Внимательно ознакомьтесь со справочным материалом, при необходимости повторите теоретический материал по школьному учебнику или по другим источникам (см. список литературы). Применение основных формул сопровождается иллюстрирующими задачами.
-
Прочитав задачу, попытайтесь решить её самостоятельно, не заглядывая в решение, предложенное в пособии. Не исключено, что Ваше решение может оказаться более рациональным или оригинальным.
-
Если же задачу не удаётся решить самостоятельно, посмотрите начало решения, указанное в пособии. Возможно, Вам достаточно будет какой-то начальной идеи, чтобы завершить решение самостоятельно.
-
Если всё-таки задачу решить не можете, ознакомьтесь с полным решением, предложенным в пособии. После этого обязательно перерешайте разобранную задачу от начала до конца самостоятельно.
-
В некоторых задачах предложены несколько способов решения. Разберите каждый! После этого переходите к упражнениям для самостоятельной работы.
Пособие будет полезно не только учащимся старших классов, но и учителям математики. Проанализировав решения, учитель математики сможет более эффективно построить систему учебных занятий. С другой стороны, он будет иметь реальную возможность отбора задач для осуществления контроля за освоением конкретным учеником данной темы.
Векторы на плоскости
Вектором называется отрезок, у которого указаны начало и конец (т.е. величина, которая характеризуется численным значением и направлением). |  |
Координаты и длина вектора
Даны точки А(х1;у1) и В(х2; у2) Координаты вектора   |  |
Длина вектора  вычисляется по формуле:  | |
Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе. | |
Действия над векторами Если  , то       |  |
Разложение вектора по координатным векторам Если  , то   |  |
Коллинеарные векторы Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарностивекторов  в координатном представлении:  |   - сонаправленные векторы  - противоположно направленные векторы |
Равные векторы  ,если:     У равных векторов соответствующие координаты равны. Противоположные векторы (    противоположные векторы, если: -
  -
  Соответствующие координаты противоположны. |   |
Ортогональные векторы Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов, на плоскости:  |   - ортогональные векторы |
Скалярное умножение векторов Скалярным произведением двух векторов  называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними :  Скалярное произведение векторов выражается через координаты:      | =900   00≤900   900≤1800   |
Применение скалярного произведения к решению задач |
Метод координат в пространстве
Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат), Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликат точка их пересечения O – началом координат, а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями. В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z). | Прямоугольная система координат в пространстве |
Действия над векторами: |
Сложение векторов |
Вычитание векторов |
Умножение вектора на число k. |
Координаты середины отрезка AB: А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). Точка М середина отрезка AB. |
Вычисление длины вектора по его координатам: |
Расстояние между двумя точками. А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2). |
Вычисление координат вектора . Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). |
Скалярное произведение векторов и выражается формулой: |
Перпендикулярность векторов: ; |
Коллинеарность векторов: ; , если координаты векторов не равны нулю. |
Косинус угла между ненулевыми векторами векторов и вычисляется по формуле: |
Задачи по теме «векторы в пространстве»
А
1.Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).
Найдите | 2АВ+3СД |
Решение:
(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)
(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).
2
+3
=(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).

+3
=
=
Ответ:
2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами
и
.
Решение:
cosα=

CД(-4;4;0)
=
=4
MN=(-3;4;-5)
=
=5
Cosα=
=
=0,7
Ответ:0,7
3. Вычислите угол между векторами
(2; -2; 0) и
(3; 0; -3).
Решение:
Cos
=
ab=2*3+(-2)*0+(-3)*0=6
=
=2
=
=3
cos
=
=
=600
Ответ :600
4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны:
(2; -1;3) и
(1;3; n)?
Решение:
ab=2*1-3*(-1)+3n
3n-1=0
3n=1
n=
Ответ:
5.Вычислите координаты вектора 2
+3
+
по координатам векторов:
(3;1; 1),
(-2;0;2)
Решение:
2
+
=(2*3;2*1;2*1)+(3*(-2);3*0;3*2)+(1;-1;0)=(6-6+1;2+0-1;2+6)=(1;1;8)
Ответ:(1;1;8)
6.Вычислите значение k , при котором скалярное произведение векторов
(2;k;-1) и
(3; -1; 2k) равно(-5)
Решение:
ab=2*3-k-2k
6-k-2k=0
-3k=-11
k=
Ответ:
7.Даны векторы:
(-3;-1;2),
(5;-2;7). Найдите координаты вектора: -
+3
.
Решение:
-
=(3;1;-2)+(3*5+3*(-2)+3*7)=(18;-5;-19)
Ответ:(18;-5;-19)
8.При каких значениях x и у векторы а(х;-2;5) и b(1;у;-3) коллинеарные?
Решение:
=
- свойство коллинеарных векторов

-5
=-6 
=
3х=-5
x=
Ответ:x=

=
9.Вычислите длину вектора 2
+ 3
, если
(3; 1;0),
(0;1;-1).
Решение:

=4a
+12ab+9b
9+1=10
=1+1=2

=4*10+12+9*2=40+30=70
=
Ответ:
10.Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор
(4;-2;-3). Найдите длину вектора 3
+ 5
Решение:
(1-2;0+1;4-3)=(-1;1;1) 3
(-3;3;3)
5
(20;-10;-15)
3
=(17;-7;-12)
=
Ответ:
11.Даны точки А(2;0;1), В(4;-1;3), С(1;1;2). Найдите косинус внутреннего угла при вершине В треугольника АВС.
Решение:
cos
=




AB*BC=-3*2+(-1)*2+2(-1)=-6-2-2=-10
cos
=
=
=
Ответ:
12.Найдите сумму всех значений m, при которых векторы а(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3) перпендикулярны.
Решение:
=0
m(m+1)-m+2m-3=0
m
+2m-3=0
m
=-3
m
=1
m
+m
=-3+1=-2
Ответ:-2
13.Найдите длину большей диагонали параллелограмма, построенного на векторах
(3;-3;-2) и
(1;2;-1).
Решение:
d
=(a+

d
=a
+2ab+b


d
=22-2+6=26 ab=3-6+2=-1
d=
Ответ:
14.Найдите в градусах угол между векторами
(1;1;
) и осью Оz.
Решение:
cos
=
=
=

=
ab=0+0+6=6
cos
=
=
=
=
=

Ответ:
15.Даны векторы
(-1;1;1;)
(0;2;-2). Найдите координаты вектора с
=(2
+3
)-(
-2)
+2(
-
).
Решение:
=3
=(-3;3;3)+(0;6;-6)=(-3+0;3+6;3-6)=(-3;9;-3)
(-3;9;-3)
Ответ:
(-3;9;-3)
16.Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарные:
(15;m;1) и
(18;12;n)
Решение:
=
- свойство коллинеарных векторов

18m=180 
m=10 10n=12
n=1,2
Ответ:m=10,n=1,2
17.Даны векторы
=mi+3j+4k и
=(4i+mj-7k). При каком значении векторы ортогональны?
Решение:
a(m;3;4) b(4;m;-7)
ab=0
4m+3m-28=0
7m=28
m=4
Ответ:4
18. Даны векторы
(-1;2;3) и
(5;х;-1). При каком значении х выполняется условие аb=3?
Решение:
ab=3
-5+2x-3=3
2x=6+5
x=5,5
Ответ:5,5
19.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2;0;1), В(-1;2;3) и С(8;-4;9). Найдите координаты вектора ВМ, если ВМ медиана треугольника АВС.
Решение:
Точка М середина отрезка АС.
М(
)
х
=
у
=
z
M(3;-2;5)

(4;-4;2)
Ответ:
(4;-4;2)
20.Даны вершины треугольника: А(-1;-2;4), В(-4;-2;0) и С(3;-2;1). Найдите угол треугольника при вершине А.
Решение:


=2

По теореме Пифагора 
АВС прямоугольный ,равнобедренныйтреугольник значит, 
Ответ:
21.Вычислите 
+
c+
c, если,
+b+c=0 и |
|=|
|=|c|=1.
Решение:
(
(Возведем обе части в квадрат)
a
1+1+1+2(ab+ac+bc) =0
2(ab+ac+bc)=-3
ab+ac+bc=-1,5
Ответ:-1,5
22.Вычислите длину вектора
=2i+j-3k.
Решение:


Ответ:
23.Найдите косинус угла между векторами
-
и
+
, если
(1;2;1) и
(2;-1;0).
Решение:
cos




cos
=
Ответ:cos

24.Найдите скалярное произведение векторов
и
, если |
|=1, |
|=2, |a+b|=3.
Решение:

9+
=2+8
a-2ab+b
=10-9
-2ab+1+4=1
-2ab=-4
ab=2
Ответ:2
25.Найдите угол между векторами р=2
+3
и q=2
-3
, если
=i-j+2kи
=2i+2j
Решение:
cos
=
. а(1;-1;2) b(2;2;0)
p(2*1;2*(-1);2*2+3*2;3*2;3*0)=(8;4;4)
q(2*1;2*(-1);2*2+-3*2;3*2;3*0)=(-4;-8;4)


pq=-4*8-8*4+4*4=-32-32+16=-48
cos
=
Ответ:cos
=

26.В параллелограмме АВСД заданы АВ(-4;-4;-2), СВ(-3;-6;1) и А(3;8;-5). Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей.
Решение:
Пусть В( х1;у1;z1) и С(х;у;z)
х
-3=-4 -1-х=-3
х1=-1 х=2
у
-8=-4 4-у=-6
у
=4 у=10
z
+5=-2 -7-z=1
z
=-7 z=-8
B(-1;4;-7) С(2;10;-8)
О(
=(

Ответ:5
27.Длина вектора
(х;у;z) равна 5. Найдите ординату вектора
, если х=2, z=-
Решение:
(2;у;-
)


4+у
+5=25
у
=25-9
у
=16
y =
4
Ответ:
4
28.Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1). Найдите точку Д(х;у;z), если векторы АВ и СД равны.
Решение:


х-0=-2 у-2=1 z+1=1
х=-2, у=3, z=0
Д(-2;3;0)
Ответ:Д(-2;3;0)
В
29.При каком значении (значениях) k векторы
(6-k;k;2) и
(-3;5+5k;-9) перпендикулярны?
Решение:
=0
-3(6-k)+k(5+5k)-18=0
-18+3k+5k+5k
-18=0
5k
+8k-36=0
(+)=-8
(*)=-180
k
=
=2 k
=-
Ответ:k
=2, k
=
30.При каком значении а векторы АВ и СД коллинеарны, если А(-2;-1;2), В(4;-3;6),
С(-1;а-1;а), Д(-4;-1;а)?
Решение:

=
- свойство коллинеарных векторов

6a=-6
a=-1
Ответ:-1
31.Дано: |
|=4, |
|=1.
. Найдите cosa, где а – угол между векторами
-
и 
Решение:
cos

cos
Ответ:cos
32.Найдите длину вектора a+b+c, если |a|=1 |b|=2, |c|=3,.
,
.
Решение:

1+4+9+2(2
0+3


14+2
(-

Ответ:
33.В параллелограмме АВСД заданы СД(-3;4;2), СИ(5;-2;4) и А(5;8;0). Найдите расстояние от точки С до начала координат.
Решение:
x
-x
=-3 y
-y
=4 z
-z
=2
x
-x
=5 y
-y
=-2 z
-z
=4
x
+x
=2+2x
y
+y
=2+2y
z
+z
=6+2z


x
+5=x
+x
y
+8=y
+y
z
+0=z
+z
x
+5=2+2x
y
+8=2+2y
z
+0=6+2z
x
=3 y
=6 z
=-6

Ответ:
34.Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), Д(1;-7;-1) являются вершинами ромба АВСД. Найдите острый угол ромба
Решение:
cos
=
AB(7;11;0) ВС(-13;1;0)
АВ*ВС=91+11=102



cos
=

Ответ:
35. Дан треугольник с вершинами в точках А(3;-2;1), В(3;0;2), С(1;2;5). Найдите угол, образованный медианой ВД и основанием АС.
Решение:
точка Д середина отрезка АС
АС (
)
Д(
=(2;0;3)
cos
=
АД(-1;2;2) ВД(-1;0;1)


cos
=
=
=


Ответ: 
36.В правильном тетраэдре ДАВС с ребром а точка О – центр треугольника АВС. Найдите |
+
-
|.
Решение:

= -
ОВ=R=




Ответ:
37.Даны три точки: А(1;0;10, В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите на оси Оz такую точку Д(0;0;с), чтобы векторы 
и
были перпендикулярны.
Решение:




векторы перпендикулярны тогда их скалярное произведение равно нулю.

(-2;1;1) 
(0;-2;с+1)

=0-2+с+1=с-1
с-1=0
с=1
Ответ:1
38.В тетраэдре ДАВС ДА=ДВ=ДС, 
. Вычислите угол между векторами : а)
и
б)
и
.
Решение:
Треугольник СДВ равнобедренный, значит углы при основании равны.
Д=


Угол между векторами 
и
равен 

=⇒ cos
=
cos

⇒
Ответ:600 ; 1350
39. При каком значении а три точки А(2;а; 3), В(3;1;6), С(4;3;9) лежат на одной прямой?
Решение:

А В С
Векторы 
и 
коллинеарные 




(1;1-а;3) 
(1;2;3)

1-а=2
-а=1
а=-1
Ответ:-1
40.Найдите длину интервала значений параметра а, при которых р(-1;2х;х
) и q(5;а;а) при любом х образуют тупой угол.
Решение:
pq
-5+2xa+x
a
x
a+2xa-5
D=4а+20а
4a(a+5)=0+ - - +


a=0 a=-5 -5 0
0-(-5)=5
Ответ:5
41. Найдите длину вектора
-
-
,если |
|=2, |
|=3 ,|
|=4, угол между
и
равен
, между
и
равен
и между
и
равен
.
Решение:
=а
4+9+16-2
6


29-6+8=31

Ответ:
42.Векторы
и
взаимно перпендикулярны, вектор
образует с ними угол
. Зная, что
=3,
=5,
=8, вычислите скалярное произведение
-
+
.
Решение:
-
+
=3ab+9ac-2b
-6bc

=3
5
0=0

=3
8



=5
8


3ab+9ac-2b
-6bc=3
0+9
12-2
25-6
20
-
+
=108-50-120=-62
Ответ:-62
43.Треугольная пирамида задана координатами своих вершин А(3;0;1), В(-1;4;1), С(5;2;3) и Д(0;-5;4). Вычислите длину вектора
, если О – точка пересечения медиан треугольника ВСД.
Решение:
О – центр тяжести (
О(
=

Ответ:
44.
=2,
=3,
,
)=120. Найдите cos
, где
- угол между векторами
и
+
.
Решение:
cos
ab=2
3
(-
=-3


cos
Ответ:cos
45. Треугольник задан координатами своих вершин А(1;1;2), В(3;4;2) и С(5;6;4). Найдите величину внешнего угла треугольника при вершине В.
Решение:
сos


(2;0;3) 

(2;2;2) 
cos
=
Ответ:
46.В треугольнике АВС точки M и N – середины сторон АВ и ВС соответственно. Известно, что
(3;-5;6),
(-2;1;7). Найдите сумму координат вектора
.
Решение:

(х
-х
; у
-у
; у
-у
)
М(
)
N(

(х
-х
;у
-у
;z
-z
)

(х2-х1;у2-у1;z
-z
)⇒ х
-х
=3 у
-у
=-5 z
-z
=6



х
-х
=3 у
-у
=-5 z
-z
=6
x
-x
=-4 y
-y
=2 z
-z
=14

х
-х
=-7 у
-у
=7 z
-z
=8

(-7;7;8)
⇒
-7+7+8=8
Ответ:8
47. Найдите сумму целых значений параметра b, при которых векторы
(х
;х; 16) и
(1;b;-
)
при всех значениях х образуют острый угол.
Решение:
p
q0
x
b
D=b
b
b(b
+ - - +
0
b=0 иb
=-64 -4 0
b=-4
(-4;0) 
-3;-2;-1
-3-2-1=-6
Ответ :-6
48.В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A(1; 6; 3), B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов , и .
Решение:
Ответ: ;
49.Вычислить скалярное произведение векторов и
Решение:
Ответ:12
50. Коллинеарны ли векторы:
a) {-5;3;-1} и {-10; 6;-2};
b) {-6;3;-1} и {2; -9;3};
Решение:
a)
Да, векторы коллинеарны
b)
Нет, векторы не коллинеарны
Ответ: a) да b) нет
51. Найти косинус угла между векторами = {4; 3; 0} и = {0; 12; 5}.
Решение:
Ответ:36/65