Векторы в пространстве

Қостанай облысы Қостатай ауданы әкімдігінің

«Мичурин орта мектебі» ММ

ГУ «Мичуринскаясредняяшкола»

Отделаобразования акимата Костанайского района, Костанайскойобласти

Векторы в пространстве

Методическое пособие

10-11 классов

с. Мичуринское

УДК 371.3
ББК 74.262.21
В27

Рецензентты:

Вельченко О. А Магистр математики, старший преподаватель кафедры социально-гуманитарных и естественнонаучных дисциплин

Костанайского филиала ФГБОУ ВПО

«Челябинский государственный университет»

Альмагамбетова М.К Заместитель директора по учебной работе

ГУ «Мичуринская средняя школа»

Векторы в пространстве: Методическое пособие/сост: З. А. Альмагамбетова.-Костанайскаяобласть, Костанайскийрайон, 2016.- 32.с.

ISBN 978-601-316-177-8

Пособие предназначено для более подробного изучения темы «Векторы в пространстве» по стереометрии за курс 10-11 классов общеобразовательной школы. Данное пособие может быть использовано учителями математики средних школ при обучении школьников решению векторных задач, а также студентами математических специальностей педагогических институтов.

УДК 371.3
ББК 74.262.21

©Альмагамбетова З. А.,2016

Введение.

Данное пособие адресовано в первую очередь тем, кто желает успешно подготовиться к ЕНТ по математике.

Цель нашего пособия - рассмотреть примеры решения некоторых стереометрических задач, предлагаемых на ЕНТ, которые позволят лучше понять и запомнить векторный и координатный способы решения геометрических задач.

Данное пособие включает в себя перечень основных формул на применение координат и векторов при вычислении расстояний, углов, площадей и объёмов в стереометрических задачах. Затем приводятся примеры решения задач различного уровня сложности и упражнения для самостоятельного решения (с ответами). Задания взяты из различных сборников ЕНТ.

Рекомендации по работе с пособием:

1. Внимательно ознакомьтесь со справочным материалом, при необходимости повторите теоретический материал по школьному учебнику или по другим источникам (см. список литературы). Применение основных формул сопровождается иллюстрирующими задачами.

2. Прочитав задачу, попытайтесь решить её самостоятельно, не заглядывая в решение, предложенное в пособии. Не исключено, что Ваше решение может оказаться более рациональным или оригинальным.

3. Если же задачу не удаётся решить самостоятельно, посмотрите начало решения, указанное в пособии. Возможно, Вам достаточно будет какой-то начальной идеи, чтобы завершить решение самостоятельно.

4. Если всё-таки задачу решить не можете, ознакомьтесь с полным решением, предложенным в пособии. После этого обязательно перерешайте разобранную задачу от начала до конца самостоятельно.

5. В некоторых задачах предложены несколько способов решения. Разберите каждый! После этого переходите к упражнениям для самостоятельной работы.

Пособие будет полезно не только учащимся старших классов, но и учителям математики. Проанализировав решения, учитель математики сможет более эффективно построить систему учебных занятий. С другой стороны, он будет иметь реальную возможность отбора задач для осуществления контроля за освоением конкретным учеником данной темы.

Векторы на плоскости

Вектором называется отрезок, у которого указаны начало и конец (т.е. величина, которая характеризуется численным значением и направлением).

Координаты и длина вектора

Даны точки А(х1;у1) и В(х2; у2) Координаты вектора 
Длина вектора  вычисляется по формуле:
Координаты вектора не изменяются при параллельном переносе.
Действия над векторами Если , то   
Разложение вектора по координатным векторам Если , то 
Коллинеарные векторы Коллинеарными называются векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Условие коллинеарностивекторов  в координатном представлении:	 - сонаправленные векторы  - противоположно направленные векторы
Равные векторы ,если:   У равных векторов соответствующие координаты равны. Противоположные векторы (  противоположные векторы, если:   Соответствующие координаты противоположны.
Ортогональные векторы  Условие ортогональности (перпендикулярности) векторов, на плоскости:	 - ортогональные векторы
Скалярное умножение векторов Скалярным произведением двух векторов  называетсячисло, равное произведению длин этих векторов на косинус угла  между ними : Скалярное произведение векторов выражается через координаты:    	=900  00≤900  900≤1800 
Применение скалярного произведения к решению задач 

Метод координат в пространстве

Прямые x, y, z называются координатными осями (или осями координат),  Оси координат обозначаются так: OX- ось абсцисс OY- ось ординат OZ- ось аппликат точка их пересечения O – началом координат,  а плоскости xOy, xOz и yOz – координатными плоскостями.  В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее координатами. М(x; y; z).

Прямоугольная система координат в пространстве

Действия над векторами:

Сложение векторов

Вычитание векторов

Умножение вектора на число k.

Координаты середины отрезка AB: А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2). Точка М середина отрезка AB.

Вычисление длины вектора по его координатам:

Расстояние между двумя точками. А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2).

Вычисление координат вектора . Если А(x1;y1;z1), B(x2;y2;z2).

Скалярное произведение векторов и выражается формулой:

Перпендикулярность векторов: ;

Коллинеарность векторов: ; , если координаты векторов не равны нулю.

Косинус угла между ненулевыми векторами векторов и вычисляется по формуле:

Задачи по теме «векторы в пространстве»

А

1.Даны координаты точек А(-3; 2; -1), В(2; -1;-3), С(1; -4; 3), Д(-1; 2; -2).

Найдите | 2АВ+3СД |

Решение:

(2+3; -1-2;-3+1)=(5;-3;-2)

(-1-1;2+4;-2-3)=(-2;6;-5).

2+3=(10+(-6);-6+18;-4-15)=(4;12;-19).

+3==

Ответ:

2. Даны координаты точек С(3; -2; 1), Д(-1; 2; 1), М(2; -3;3), N(-1; 1; -2). Найдите косинус угла между векторами и .

Решение:

cosα=

CД(-4;4;0) ==4

MN=(-3;4;-5) ==5

Cosα===0,7

Ответ:0,7

3. Вычислите угол между векторами (2; -2; 0) и (3; 0; -3).

Решение:

Cos=

ab=2*3+(-2)*0+(-3)*0=6

==2

==3

cos==

=60⁰

Ответ :60⁰

4. При каком значении n данные векторы перпендикулярны: (2; -1;3) и (1;3; n)?

Решение:

ab=2*1-3*(-1)+3n

3n-1=0

3n=1

n=

Ответ:

5.Вычислите координаты вектора 2+3+по координатам векторов: (3;1; 1), (-2;0;2)

Решение:

2+=(2*3;2*1;2*1)+(3*(-2);3*0;3*2)+(1;-1;0)=(6-6+1;2+0-1;2+6)=(1;1;8)

Ответ:(1;1;8)

6.Вычислите значение k , при котором скалярное произведение векторов (2;k;-1) и

(3; -1; 2k) равно(-5)

Решение:

ab=2*3-k-2k

6-k-2k=0

-3k=-11

k=

Ответ:

7.Даны векторы: (-3;-1;2), (5;-2;7). Найдите координаты вектора: -+3.

Решение:

-=(3;1;-2)+(3*5+3*(-2)+3*7)=(18;-5;-19)

Ответ:(18;-5;-19)

8.При каких значениях x и у векторы а(х;-2;5) и b(1;у;-3) коллинеарные?

Решение:

=- свойство коллинеарных векторов

-5=-6 =

3х=-5x=

Ответ:x==

9.Вычислите длину вектора 2 + 3, если (3; 1;0), (0;1;-1).

Решение:

=4a+12ab+9b

9+1=10

=1+1=2

=4*10+12+9*2=40+30=70

=

Ответ:

10.Даны две точки А(2;-1;3), В(1;0;4) и вектор (4;-2;-3). Найдите длину вектора 3 + 5

Решение:

(1-2;0+1;4-3)=(-1;1;1) 3(-3;3;3)

5(20;-10;-15)

3=(17;-7;-12)

=

Ответ:

11.Даны точки А(2;0;1), В(4;-1;3), С(1;1;2). Найдите косинус внутреннего угла при вершине В треугольника АВС.

Решение:

cos=

AB*BC=-3*2+(-1)*2+2(-1)=-6-2-2=-10

cos===

Ответ:

12.Найдите сумму всех значений m, при которых векторы а(m + 1; 1;-1;) и b(m; -m;-2m+3) перпендикулярны.

Решение:

=0

m(m+1)-m+2m-3=0

m+2m-3=0

m=-3

m=1

m+m=-3+1=-2

Ответ:-2

13.Найдите длину большей диагонали параллелограмма, построенного на векторах (3;-3;-2) и (1;2;-1).

Решение:

d=(a+

d=a+2ab+b

d=22-2+6=26 ab=3-6+2=-1

d=

Ответ:

14.Найдите в градусах угол между векторами (1;1;) и осью Оz.

Решение:

cos=

==

=

ab=0+0+6=6

cos=====

Ответ:

15.Даны векторы (-1;1;1;) (0;2;-2). Найдите координаты вектора с=(2+3)-( -2) +2(-).

Решение:

=3

=(-3;3;3)+(0;6;-6)=(-3+0;3+6;3-6)=(-3;9;-3)

(-3;9;-3)

Ответ:(-3;9;-3)

16.Найдите значения m и n, при которых следующие векторы коллинеарные:(15;m;1) и (18;12;n)

Решение:

=- свойство коллинеарных векторов

18m=180

m=10 10n=12

n=1,2

Ответ:m=10,n=1,2

17.Даны векторы =mi+3j+4k и =(4i+mj-7k). При каком значении векторы ортогональны?

Решение:

a(m;3;4) b(4;m;-7)

ab=0

4m+3m-28=0

7m=28

m=4

Ответ:4

18. Даны векторы (-1;2;3) и (5;х;-1). При каком значении х выполняется условие аb=3?

Решение:

ab=3

-5+2x-3=3

2x=6+5

x=5,5

Ответ:5,5

19.Вершины треугольника АВС имеют координаты А(-2;0;1), В(-1;2;3) и С(8;-4;9). Найдите координаты вектора ВМ, если ВМ медиана треугольника АВС.

Решение:

Точка М середина отрезка АС. М( )

х= у=z M(3;-2;5)

(4;-4;2)

Ответ:(4;-4;2)

20.Даны вершины треугольника: А(-1;-2;4), В(-4;-2;0) и С(3;-2;1). Найдите угол треугольника при вершине А.

Решение:

=2

По теореме Пифагора АВС прямоугольный ,равнобедренныйтреугольник значит,

Ответ:

21.Вычислите +c+c, если, +b+c=0 и ||=||=|c|=1.

Решение:

( (Возведем обе части в квадрат)

a

1+1+1+2(ab+ac+bc) =0

2(ab+ac+bc)=-3

ab+ac+bc=-1,5

Ответ:-1,5

22.Вычислите длину вектора =2i+j-3k.

Решение:

Ответ:

23.Найдите косинус угла между векторами - и +, если(1;2;1) и(2;-1;0).

Решение:

cos

cos=

Ответ:cos

24.Найдите скалярное произведение векторов и, если ||=1, ||=2, |a+b|=3.

Решение:

9+=2+8

a-2ab+b=10-9

-2ab+1+4=1

-2ab=-4

ab=2

Ответ:2

25.Найдите угол между векторами р=2+3 и q=2-3, если=i-j+2kи =2i+2j

Решение:

cos=. а(1;-1;2) b(2;2;0)

p(2*1;2*(-1);2*2+3*2;3*2;3*0)=(8;4;4)

q(2*1;2*(-1);2*2+-3*2;3*2;3*0)=(-4;-8;4)

pq=-4*8-8*4+4*4=-32-32+16=-48

cos=

Ответ:cos=

26.В параллелограмме АВСД заданы АВ(-4;-4;-2), СВ(-3;-6;1) и А(3;8;-5). Найдите сумму координат точки пересечения диагоналей.

Решение:

Пусть В( х₁;у₁;z₁) и С(х;у;z)

х-3=-4 -1-х=-3

х₁=-1 х=2

у-8=-4 4-у=-6

у=4 у=10

z+5=-2 -7-z=1

z=-7 z=-8

B(-1;4;-7) С(2;10;-8)

О(=(

Ответ:5

27.Длина вектора (х;у;z) равна 5. Найдите ординату вектора, если х=2, z=-

Решение:

(2;у;-)

4+у+5=25

у=25-9

у=16

y =4

Ответ:4

28.Даны три точки А(1;0;1), В(-1;1;2) и С(0;2;-1). Найдите точку Д(х;у;z), если векторы АВ и СД равны.

Решение:

х-0=-2 у-2=1 z+1=1

х=-2, у=3, z=0

Д(-2;3;0)

Ответ:Д(-2;3;0)

В

29.При каком значении (значениях) k векторы (6-k;k;2) и (-3;5+5k;-9) перпендикулярны?

Решение:

=0

-3(6-k)+k(5+5k)-18=0

-18+3k+5k+5k-18=0

5k+8k-36=0

(+)=-8

(*)=-180

k==2 k=-

Ответ:k=2, k=

30.При каком значении а векторы АВ и СД коллинеарны, если А(-2;-1;2), В(4;-3;6),

С(-1;а-1;а), Д(-4;-1;а)?

Решение:

=- свойство коллинеарных векторов

6a=-6

a=-1

Ответ:-1

31.Дано: ||=4, ||=1.. Найдите cosa, где а – угол между векторами - и

Решение:

cos

cos

Ответ:cos

32.Найдите длину вектора a+b+c, если |a|=1 |b|=2, |c|=3,.,.

Решение:

1+4+9+2(20+3

14+2(-

Ответ:

33.В параллелограмме АВСД заданы СД(-3;4;2), СИ(5;-2;4) и А(5;8;0). Найдите расстояние от точки С до начала координат.

Решение:

x-x=-3 y-y=4 z-z=2

x-x=5 y-y=-2 z-z=4

x+x=2+2x y+y=2+2y z+z=6+2z

x+5=x+x y+8=y+y z+0=z+z

x+5=2+2x y+8=2+2yz+0=6+2z

x=3 y=6 z=-6

Ответ:

34.Точки А(14;-8;-1), В(7;3;-1), С(-6;4;-1), Д(1;-7;-1) являются вершинами ромба АВСД. Найдите острый угол ромба

Решение:

cos=

AB(7;11;0) ВС(-13;1;0)

АВ*ВС=91+11=102

cos=

Ответ:

35. Дан треугольник с вершинами в точках А(3;-2;1), В(3;0;2), С(1;2;5). Найдите угол, образованный медианой ВД и основанием АС.

Решение:

точка Д середина отрезка АСАС ()

Д(=(2;0;3)

cos=

АД(-1;2;2) ВД(-1;0;1)

cos===

_Ответ:

36.В правильном тетраэдре ДАВС с ребром а точка О – центр треугольника АВС. Найдите |+-|.

Решение:

= -

ОВ=R=

_Ответ:

37.Даны три точки: А(1;0;10, В(-1;1;2), С(0;2;-1). Найдите на оси Оz такую точку Д(0;0;с), чтобы векторы и были перпендикулярны.

Решение:

 векторы перпендикулярны тогда их скалярное произведение равно нулю.

(-2;1;1) (0;-2;с+1)

=0-2+с+1=с-1

с-1=0

с=1

Ответ:1

38.В тетраэдре ДАВС ДА=ДВ=ДС, . Вычислите угол между векторами : а) и б) и .

Решение:

Треугольник СДВ равнобедренный, значит углы при основании равны.

Д=

Угол между векторами  и равен

=⇒ cos=

_cos⇒

_{Ответ:600 ; 1350}

39. При каком значении а три точки А(2;а; 3), В(3;1;6), С(4;3;9) лежат на одной прямой?

Решение:

А В С

Векторы  _{и } коллинеарные 

(1;1-а;3) (1;2;3)

1-а=2

-а=1

а=-1

Ответ:-1

40.Найдите длину интервала значений параметра а, при которых р(-1;2х;х) и q(5;а;а) при любом х образуют тупой угол.

Решение:

pq

-5+2xa+xa

xa+2xa-5

D=4а+20а

4a(a+5)=0+ - - +

a=0 a=-5 -5 0

0-(-5)=5

Ответ:5

41. Найдите длину вектора --,если ||=2, ||=3 ,||=4, угол между и равен , между и равен и между и равен .

Решение:

=а

4+9+16-26

29-6+8=31

_Ответ:

42.Векторы и взаимно перпендикулярны, вектор образует с ними угол . Зная, что =3, =5, =8, вычислите скалярное произведение -+.

Решение:

-+=3ab+9ac-2b-6bc

=350=0

=38

=58

3ab+9ac-2b-6bc=30+912-225-620

-+=108-50-120=-62

Ответ:-62

43.Треугольная пирамида задана координатами своих вершин А(3;0;1), В(-1;4;1), С(5;2;3) и Д(0;-5;4). Вычислите длину вектора , если О – точка пересечения медиан треугольника ВСД.

Решение:

О – центр тяжести (

О(

=

_Ответ:

44.=2, =3, ,)=120. Найдите cos, где - угол между векторами и+.

Решение:

cos

ab=23 (-=-3

cos

Ответ:cos

45. Треугольник задан координатами своих вершин А(1;1;2), В(3;4;2) и С(5;6;4). Найдите величину внешнего угла треугольника при вершине В.

Решение:

сos

(2;0;3)

(2;2;2)

_cos=

_Ответ:

46.В треугольнике АВС точки M и N – середины сторон АВ и ВС соответственно. Известно, что (3;-5;6), (-2;1;7). Найдите сумму координат вектора .

Решение:

(х-х; у-у; у-у)

М()

N(

(х-х;у-у;z-z)

(х₂-х₁;у₂-у₁;z-z)_⇒ х-х=3 у-у=-5 z-z=6



х-х=3 у-у=-5 z-z=6

x-x=-4 y-y=2 z-z=14

х-х=-7 у-у=7 z-z=8

(-7;7;8)_⇒ -7+7+8=8

Ответ:8

47. Найдите сумму целых значений параметра b, при которых векторы (х;х; 16) и

(1;b;-)при всех значениях х образуют острый угол.

Решение:

pq0

x

b

D=b

b

b(b + - - +

0

b=0 иb=-64 -4 0

b=-4

(-4;0) -3;-2;-1-3-2-1=-6

Ответ :-6

48.В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: A(1; 6; 3), B (3; − 1; 7) и C(− 4; 3; − 2). Найти координаты векторов ,  и .

Решение:

Ответ: ;

49.Вычислить скалярное произведение векторов и

Решение:

Ответ:12

50. Коллинеарны ли векторы:

a) {-5;3;-1} и {-10; 6;-2};

b) {-6;3;-1} и {2; -9;3};

Решение:

a)

Да, векторы коллинеарны

b)

Нет, векторы не коллинеарны

Ответ: a) да b) нет

51. Найти косинус угла между векторами  = {4; 3; 0} и  = {0; 12; 5}.

Решение:

Ответ:36/65