Вклад Б. Паскаля в математику. Разработка основ теории вероятности

Возникновение первых представлений о шансах, случайности и вероятности, первых элементов статистического анализа традиционно ассоциируют с тремя факторами: распространением азартных игр, развитием астрономических исследований и появлением страхования. Правда, первый точно датированный контракт по страхованию жизни был подписан в Генуе в 1347 г; что же касается азартных игр, то они были широко распространены ещё в Древнем Египте (ок. 3500 г. до н.э.), не говоря уже о Древней Греции и Древнем Риме. Однако первые попытки математического анализа шансов игроков появились лишь в XVI в. и принадлежали Л. Пачоли, Н. Тарталье и Дж. Кардано; так возникла комбинаторика. Её последующее развитие связано с именами Б. Паскаля (“Трактат об арифметическом треугольнике”, 1654 г.), Г.В. Лейбница (“Рассуждение о комбинаторном искусстве”, 1666) и особенно Я. Бернулли (“Искусство предположений”, изд. в 1713 г.

«Предмет математики настолько серьезен, что полезно не упускать случаев, делать его немного занимательным».

Б. Паскаль

Паскаль (Pascal) Блез (19.6.1623, Клермон-Ферран, — 19.8.1662, Париж), французский религиозный философ, писатель, математик и физик. Родился в семье высокообразованного юриста, занимавшегося математикой и воспитывавшего своих детей под влиянием педагогических идей М. Монтеня, рано проявил выдающиеся математические способности, войдя в историю науки как классический пример отроческой гениальности.

Вычислительная машина Паскаля

Блез Паскаль всегда старался сделать так, чтобы результаты его работы в науке и математике могли применяться на практике. Когда он был ещё подростком, он изобрёл первую машину для вычислений — арифметическое устройство, которое могло прибавлять и отнимать. Эта машина состояла из набора колёсиков, каждое из которых было помечено числами от нуля до девяти. Колёсики были соединены с зубчатыми колёсами, так что полный поворот одного колёсика приводил в движение следующее, соседнее колёсико на одну десятую поворота. Это устройство очень помогло его отцу, который был судьёй в налоговом суде, а также всем, чья работа была связана с произведением подсчетов. Несмотря на то, что для создания этой машины требовались немалые средства, и на ней было трудно работать, вычислительная машина Паскаля стала важным этапом в последующем развитии калькуляторов и компьютеров.

Эксперименты, которые Паскаль проводил с барометром, доказали теперь уже известный факт, что атмосферное давление (как показывает ртутный столбик барометра) снижается по мере увеличения высоты, а также меняется при изменении погодных условий.

Паскаль внёс значительный вклад в развитие гидростатики и гидродинамики. Он показал, что давление, действующее на замкнутую жидкость передается неснижаемо через жидкость во всех направлениях, независимо от площади, на которую действует это давление’. Известный как закон Паскаля, этот принцип лежит в основе гидравлического пресса, сконструированного Паскалем. Во время этих экспериментов с жидкостями он также изобрёл шприц.

Паскаль также изучал циклоиду — кривую, образованную фиксированной точкой на окружности, которая катится по прямой линии. Открытие Паскалем многих физических и математических свойств циклоиды стало важным этапом для дальнейшего развития другими учёными дифференциального исчисления.

Теория Вероятности

Над Теорией Вероятностей Паскаль работал вместе с другим известным математиком – Ферма. Переписка между этими двумя учёными ‘показывает, что Паскаль и Ферма в равной степени участвовали в создании теории’. Несмотря на то, что их исследования проводились с использованием разных игровых ситуаций, эта теория имеет огромное количество применений. Она лежит в основе всех систем страхования и представляет огромную ценность для многих других отраслей науки, таких как квантовая физика, где поведение элементарных частиц можно описать с помощью вероятностей. Именно Паскалю принадлежит изобретение простого метода для определения вероятности результатов, который известен сегодня как Треугольник Паскаля.

Классическая формула вероятности

Вероятность события - это численная мера объективной возможности ее появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

N – число всех исходов испытания

М – число исходов благоприятствующих событию А

Свойство вероятности:

1) Вероятность достоверного события равна 1

2) Вероятность невозможного события равна 0

3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

1) В ящике 4 черных и 6 белых шаров, извлекают 1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным ?

N =10; М=6; А- Извлечение белого шара

N =10; М=4; А- Извлечение черного шара

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он:

А- черный; В- белый; С- красный; D - зеленый

N =10; М=2

N =10; М=4

N =10; М=4

N =10; М=0

Основные комбинаторные объекты

Задачи в которых производится подсчет всех возможных комбинаций составленных по некоторому правилу, называются комбинаторными. Раздел математики занимающийся их решением называется комбинаторикой.

Размещения

Правило умножения

Правило сложения

Перестановка

Сочетания

Правило умножения

Если требуется выполнить одно за другим какие то K действий при чем 1 действие можно выполнить а 1 способами, 2 действие – а 2 способами, и так до K -го действия , которое можно выполнить а к способами, то все K действий вместе могут быть выполнены а 1 · а 2 · а 3 …а к способами.

4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ?

Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4 · 3 · 2 · 1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 · 24=576 способами.

Правило сложения

• Если два действия взаимно исключают друг друга, при чем одно из них можно выполнить m способами, а другое – n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами.

• Это правило легко распространить на любое конечное число действий

Размещения

Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов

Теорема: число размещений из n по m равно

1) В журнале 10 страниц , необходимо на страницах поместить 4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

Перестановки

Перестановкой из n элементов называется любое упорядоченное множество, в которое входят по одному разу все n различных элементов данного множества

Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n !

• Записать все возможные перестановки для чисел 3,5,7

3,5,7 ; 3,7,5 ; 5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3

2) Сколькими способами можно расставить девять различных книг на полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

Сочетания

Сочетанием из n элементов по m называется любое подмножество из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных элементов

Теорема: Число сочетаний из n по m равно

Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

1) Имеется 10 белых и 5 черных шаров. Сколькими способами можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были 3 черных ?

Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.

Способов выбора былых шаров

Способов выбора черных шаров

По правилу умножения искомое число способов равно

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй-

не более 9 человек ?

Подгруппа из 3 человек

Подгруппа из 4 человек

Подгруппа из 5 человек

Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:

Литература

• Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк. Начальные сведения из теории вероятностей в школьном курсе алгебры. “Математика в школе”. № 7. 2004 г. стр. 24.
• В.А.Булычев, Е.А.Бунимович. Изучение теории вероятностей и статистики в школьном курсе математики. “Математика в школе”. № 4. 2003 г. стр. 59.

Электронные источники информации

• Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика 5-9. Электронное учебное пособие на CD-ROM. – М.: Дрофа, 2003.
• www.teorver.ru
• http://ru.wikipedia.org/wiki/Теория_вероятности

• http://www.origins.org.ua/page.php?id_story=350#ixzz4QGCxYfHW

11