Открытое внеклассное мероприятие по математике для 7,8,9 классов
«История развития решений квадратных уравнений»
ГБОУ СШ №4 им.В.П.Глушко учитель математики Чернова И.И.
Цели и задачи:
-обобщить и систематизировать теоретические и практические знания и умения учащихся по решению квадратных уравнений;
- развивать познавательную активность;
-формировать заинтересованность в приобретении новых знаний, умение нестандартно мыслить;
-развивать навыки работы с дополнительной литературой, с ресурсами Интернета;
-способствовать формированию чувства сплоченности, солидарности и здорового соперничества.
Ход мероприятия:
Ведущий: Представим себе, что с помощью фантастической машины времени и пространства мы очутились в городе, который населяют представители различных цивилизаций: Древнего Египта, Древнего Вавилона, Древней Греции, Древней индии, Древнего Китая, Средневекового Востока, Европы. Представим себе, что мы – дети различных времен и народов – едины в одном стремлении: овладеть приемами решения уравнений, в частности квадратных уравнений. Разделим наш город условно на кварталы и представителю каждого дадим слово. Итак, слово Древнему Египту.
Представитель египтян. Впервые квадратное уравнение сумели решить математики Древнего Египта. В одном из математических папирусов содержится задача :
«Найти стороны поля, имеющего форму прямоугольника, если его площадь 12, а ».
Рассмотрим эту задачу.
Пусть х – длина поля, тогда – его ширина, – его площадь.
Составим квадратное уравнение.
.
В папирусе дано правило его решения: «Разделим 12 на ».
12: .
Итак, .
«Длина поля равна 4», - указано в папирусе.
Ведущий: прошли тысячелетия. В алгебру вошли отрицательные числа. Решая уравнение , мы получаем два числа: -4; 4.
Разумеется, в задаче египтян мы приняли бы , так как длина поля может быть только положительной величиной.
Ведущий: Слово представителям «вавилонского» квартала.
Представители вавилонян. Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков, с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Огромный шаг вперед по сравнению с математиками Египта сделали ученые Междуречья. Они нашли правило для решения приведенного квадратного уравнения
+
где – любые действительные числа.
В одной из вавилонских задач так же требовалось определить длину прямоугольного поля ( обозначим ее ) и его ширину (): «Сложив длину и две ширины прямоугольного поля, получишь 14, а площадь поля 24. Найти его стороны».
Составим систему уравнений:
Из второго уравнения находим и подставляем в первое уравнение. Имеем
Отсюда получаем квадратное уравнение .
Для его решения прибавим к выражению некоторое число, чтобы получить полный квадрат: 7
Теперь уравнение можно записать так:
=0 или
Ведущий: Мы пришли к квадратному уравнению, которые умели решать и египтяне. Не зная отрицательных чисел, древние математики получали . Следовательно, то есть длина поля равна 8, а ширина равна 3.
Вообще же квадратное уравнение Имеет два корня:
Ведущий. Дошедшие до нас источники свидетельствуют, что древние ученые владели какими-то общими приемами решения задач с неизвестными величинами. Правило решения квадратных уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по-существу с современными, однако неизвестно, каким образом вавилоняне «дошли до этого». Но почти во всех найденных папирусах и клинописных текстах приводятся только задачи с решениями. Авторы лишь изредка снабжали свои числовые выкладки скупыми комментариями типа: «Смотри!», «Делай так!», «ты правильно нашел!».
Представитель «греческого» квартала. Я расскажу вам, как составлял и решал квадратные уравнения греческий математик Диофант. В «Арифметике» Диофант нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.
При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
Рассмотрим одну из его задач.
«Найдите два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение 96».
Диофант рассуждает следующим образом:
Из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их сумму, то есть 10+, другое же меньше, то есть 10-. Разность между ними 2. Отсюда уравнение
()()=96 или
=96, =0.
для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.
Ведущий. Задачи на составление квадратных уравнений встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхатиам», составленном в 449 году индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений вида : .
Представитель «индийского» квартала. В Древней индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг по поводу таких соревнований говорится следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
Приведем одну из задач знаменитого индийского математика XII века Бхаскары:
Обезьянок резвых стая
Всласть поевши, развлекалась.
Их в квадрате часть восьмая
На поляне забавлялась.
А двенадцать по лианам…
Стали прыгать, повисая…
Сколько ж было обезьянок,
Ты скажи мне, в этой стае?
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.
Соответствующее решение уравнения
Бхаскара записывает в виде и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляем к обеим частям 322, получая
и .
Ведущий. Огромный вклад в развитие математики внесли ученые Древнего Китая.
Представитель «китайского» квартала. Наиболее древние из дошедших до нас китайских математических текстов относятся к концу I веке до нашей эры. Во II веке до нашей эры была написана «Математика в девяти книгах». Позднее, в VII веке, она вошла в сборник «Десять классических трактатов» , которые изучали в течение мгогих столетий. В трактате «математика в девяти книгах» объясняется. Как извлечь квадратный корень с помощью формул квадрата суммы двух чисел.
Метод получил название «тянь-юань» (буквально- «небесный элемент»)- так китайцы обозначали неизвестную величину. Впоследствии метод «тянь-юань» развили и разработали китайские алгебраисты XIII-XIV веках. (в Европе в XIX веке он стал известен как метод Руффини-Горнера).
Ведущий. Обратим теперь свои взоры к Средневековому Востоку. Арабские завоевания привели к распространению языка и религии арабов – ислама. Начала складываться научная традиция, основанная на античном наследии. IX – XII веках – это расцвет науки в арабоязычных странах. Арабский язык стал языком науки.
Представитель «арабского» квартала. Первым руководством по решению задач, получившим широкую известность, стал труд багдадского ученого IX века Мухаммеда бен Мусы аль-Хорезми. Слово «аль-джебр» из арабского названия этого трактата – «Нитаб аль-джебр валь-мукабала» ( «Книга о восстановлении и противопоставлении» - со временем превратилось в хорошо знакомое всем слово «алгебра», а само сочинение аль-Хорезми стало отправной точкой в становлении науки о решении уравнений. Восстановлением («аль-джебр») аль –Хорезми называл опрерацию исключения из обеих частей уравнения отрицательных членов путем добавления равных членов, но противоположных по знаку. Противопоставление ( «аль-мукабала») – сокращение в частях уравнения одинаковых членов.
Некий математик так выразил правило «аль-джебр» :
При решении уравнения,
Если в части одной,
Безразлично какой,
Встретится член отрицательный,
Мы к обеим частям
Равный член придадим,
Только с знаком другим,
И найдем результат положительный.
Взгляд на уравнение как на равенство грузов на весах, на обеих чашах которых можно производить одинаковые преобразования, оказался очень плодотворным. Равные количества можно не только прибавлять к обеим частям уравнения или вычитать из них. Равенство не нарушается и тогда, когда обе части умножаются или делятся на одно и то же число (разумеется, если оно не нуль). Главный принцип: если над равными количествами произвести одинаковые действия, то в результате снова получатся равные количества, стал своеобразной «волшебной палочкой», которую обнаружили вдумчивые читатели руководства аль-Хорезми. Рассмотри подробнее квадратные уравнения у аль-Хорезми.
В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает шесть видов уравнений, выражая их следующим образом:
квадраты равны корням, то есть ;
квадраты равны числу, то есть ;
корни равны числу, то есть ;
квадраты и числа равны корням, то есть ;
квадраты и корни равны числу, то есть ;
корни и числа равны квадратам. То есть .
Для аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений – слагаемы, а не вычитаемые. При этом заведомо не принимаются во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами «аль-джебр» и «аль-мукабала». Его решения уравнений, конечно, не совпадают полностью с нашим ( уже не говоря о том, что они часто риторические). Следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида аль-Хорезми, как и все математики до XVII века, не учитывает нулевого решения, вероятно потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства. Приведем пример.
Задача. Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень.
Решение. Разделим пополам число корней – получишь 5, умножь 5 на само себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4 – получишь 2. Отними 2 от 5 – получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь к 5, что даст 7, это тоже есть корень.
Ведущий. Трактат аль-Хорезми является первой дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения. Трактаты аль-Хорезми были в числе первых сочинений по математике переведены в Европе с арабского на латынь. До XVI века алгебру в Европе называли искусством алгебры и макабалы. Унаследованное от восточных математиков учение о линейных и квадратных уравнениях стало основой развития алгебры в Европе.
Представитель «европейского» квартала. Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики как стран ислама, так и и Древней Греции, отличается и полнотой, и яркостью изложения. Автор самостоятельно разработал некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первым в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Греции, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» были включены почти во все европейские учебники XVI –XVII веков и частично XVIII века.
Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду
,
При всевозможных комбинациях знаков коэффициентов было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако он также признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI веке учитывают помимо положительных и отрицательные корни. Лишь в XVII веке, благодаря трудам Жирара, Декартье, Ньютона и других ученых, способ решения квадратного уравнения принимает современный вид.
Ведущий. Перейдем теперь к практической части урока. Обратимся к квадратным уравнениям, которые умели решать вавилоняне ( около 2000 лет до нашей эры). Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в клинописных текстах встречаются такие квадратные уравнения, как например
.
Зададим себе вопрос: являясь современными учениками 9-го класса, обладая запасом знаний, накопленным нашими предками, какими способами мы можем решать это уравнение?
Способы решения уравнения.
Способ I.
,
1, .
Способ II.
,
1, .
Способ III.
Способ IV.
Построим график функции
Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, так как
Координаты вершины параболы
Ведущий. Подведем итог сегодняшнего урока.
Мы сделали то. О чем в свое время говорил У. Соейр: «Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различных задачи Решая одну задачу различными методами, можно путем сравнений выяснить. Какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт».
Еще раз убедились в том, что насколько велика роль науки, в частности математики. В развитии человеческого общества, ведь для науки нет понятий границ, наций и эпох.
582
90 084 
