Возможности системы Geogebra для проверки гипотез и доказательства теорем

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

Возможности системы Geogebra для проверки гипотез

и доказательства теорем

Автор работы ________________________________________A. Э. Митина

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Информатика. Математика

Руководитель работы_______________________________Т. В. Кормилицына

Оценка__________________

Саранск 2020

Введение

Информатизация современного общества оказывает влияние на все сферы общественной жизни, в том числе и на образование. Основным техническим средством передачи и переработки информации в настоящее время является компьютер, выступающий в качестве инструмента построения знания. Практически во всех странах компьютер используется не только как предмет изучения, но и как средство обучения. Как показывают современные исследования, из всех технических средств обучения он наилучшим образом соответствует структуре учебного процесса. Считается, что он наиболее полно удовлетворяет дидактическим требованиям и позволяет управлять процессом обучения, максимально адаптировать его к индивидуальным особенностям обучаемого. Компьютер является средством, распространение которого связано с перестройкой основных видов человеческой активности, изменением системы социальных условий, требований к умственным и психическим особенностям человека. Применение компьютера в обучении, по существу, представляет формирующий эксперимент, направленный на изучение и развитие новых качеств личности.

Важным для современного периода компьютеризации образования является осознание того факта, что использование компьютерных технологий позволит сделать процесс обучения более эффективным, если их применять как инструмент познания, а не передачи знаний.

Обучение математике было и остается непростым делом. Сегодня верным помощником учеников и учителей в процессе обучения не только математики, но и других предметов, стал компьютер. Он просто творит чудеса, используя свои огромные возможности.

На сегодняшний день создано множество различных обучающих программ.

Система GeoGebra

Система GeoGebra – свободно-распространяемая динамическая геометрическая среда, которая дает возможность создавать чертежи в планиметрии, в частности, для построений с помощью циркуля и линейки. Система GeoGebra поможет учителям для объяснения, а школьникам в ознакомлении с учебными материалами не только курса геометрии, но и алгебры, математического анализа, будет незаменима для формирования навыков наглядного представления геометрических ситуаций.

У программы богатые возможности работы с функциями (построение графиков, вычисление корней, экстремумов, интегралов и т. д.) за счет команд встроенного языка, который позволяет управлять и геометрическими построениями. Программа написана Маркусом Хохенвартером на языке Java (работает на большом числе операционных систем), переведена на 39 языков и полностью поддерживает русский язык.

Систему можно использовать для построения линий:

построение графиков функций y = f (x);

построение конических сечений:

коника произвольного вида — по пяти точкам.

окружность по центру и точке на ней, по центру и радиусу, по трем точкам;

эллипс – по двум фокусам и точке на кривой;

парабола – по фокусу и директрисе;

гипербола – по двум фокусам и точке на кривой.

В системе предусмотрена возможность построения геометрического места точек, зависящих от положения некоторой другой точки, принадлежащей какой-либо кривой или многоугольнику (инструмент локус).

Кроме графических действий в системе могут быть выполнены вычисления:

действия с матрицами: сложение, умножение; транспонирование, инвертирование; вычисление определителя;

вычисления с комплексными числами;

нахождение точек пересечения кривых;

статистические функции:

вычисление математического ожидания, дисперсии;

вычисление коэффициента корреляции;

аппроксимация множества точек кривой заданного вида: полином; экспонента; логарифм; синусоида.

Понятие «доказательство» раскрывается в учебной литературе по математике, логике, методологии математики с разных точек зрения: целей использования, мотивов обращения, методов и требований.

Теоремы и их доказательства составляют основу геометрии. Трудности, возникающие при их изучении, связаны с неочевидностью утверждений многих теорем и высокой долей абстракции их доказательств.

Нередко обучающиеся просто выучивают формулировки теорем и доказательства, не понимая их по существу. По прошествии времени учащиеся забывают не только доказательства, но даже и формулировки теорем.

В основу обучения геометрии положен индуктивный метод, согласно которому учащиеся сначала должны сами при помощи опыта, на отдельных конкретных случаях, подметить искомую зависимость, и только после этого даётся логическое доказательство.

Современные компьютерные средства, в частности программа GeoGebra, которую свободно можно скачать с официального сайта www.geogebra.org, позволяют по-новому взглянуть на эти подходы. Возможности использования программы GeoGebra для проведения геометрических опытов, иллюстраций формул и теорем, установления зависимостей между геометрическими величинами и т. п.

Рабочее окно этой программы имеет вид, показанный на рисунке 1.

Рис. 1

В верхней части рабочего окна имеется панель инструментов - строка с окошками с изображением инструментов.

С помощью этих инструментов можно:

• изображать точки;

• изображать отрезки, лучи и прямые, проходящие через данные точки;

• проводить прямые, параллельные или перпендикулярные данной прямой;

• строить угол заданной градусной величины;

• строить середину отрезка и биссектрису угла;

• изображать многоугольники, указанием их вершин;

• изображать правильные многоугольники, указанием двух их соседних вершин;

• изображать окружности с данным центром и данным радиусом или с тремя её точками;

• проводить касательные прямые к окружности;

• строить фигуру, симметричную данной относительно: а) точки; б) прямой;

• поворачивать фигуру вокруг данной точки на данный угол;

• находить длины отрезков, периметры многоугольников, величины углов, площади фигур;

• изменять стиль, толщину, цвет линий и многое другое.

Начнём с одной из основных теорем геометрии о сумме углов треугольника.

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180^о.

Прежде чем представлять формулировку теоремы и её доказательство, учащимся можно предложить изобразить треугольник, с помощью транспортира измерить его углы и найти их сумму. При этом одним учащимся можно предложить изобразить остроугольный треугольник, другим – прямоугольный, третьим – тупоугольный треугольник. В качестве ответов у учащихся могут получаться значения, близкие к 180^о, что объясняется погрешностью измерений.

Для более точных построений и измерений углов можно воспользоваться программой GeoGebra. В ней можно изобразить произвольный треугольник, указав его вершины, найти величины его углов и их сумму. На рисунке 2 показан результат таких действий.

Перемещая вершины, форму треугольника можно изменять, но сумма углов этого треугольника будет оставаться равной 180^о.

Конечно, проведённая проверка не заменяет доказательства. Она лишь подкрепляет его собственными опытами и наглядными представлениями.

Рис. 2

Для проведения доказательства также можно воспользоваться программой GeoGebra. А именно, изобразим треугольник ABC и через его вершину C проведём прямую c, параллельную прямой AB (рис. 3).

Рис. 3

Внутренние накрест лежащие углы α и α₁ при параллельных прямых AB, c и секущей AC равны, по ранее изученной теореме. В равенстве этих углов можно дополнительно убедиться, найдя их величину. Аналогично, внутренние накрест лежащие углы β и β₁ при параллельных прямых AB, c и секущей BC равны. Перемещая вершину C, форму треугольника ABC можно менять, но указанные внутренние накрест лежащие углы будут оставаться равными.

Углы α₁, γ, β₁ в сумме составляют развёрнутый угол, величина которого равна 180^о. Следовательно, и сумма углов треугольника ABC равна 180^о.

Одними из важных теорем геометрии являются теоремы о средних линиях треугольника и трапеции.

Теорема. Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна её половине.

Прежде чем представлять формулировку теоремы и её доказательство, учащимся можно предложить изобразить треугольник, ABC; отметить середины D, E его сторон AC, BC соответственно; провести среднюю линию DE; с помощью линейки измерить её и сторону AB треугольника; убедиться в том, что средняя линия DE равна половине стороны AB.

Для того чтобы убедиться в параллельности средней линии DE стороне AB, учащимся можно предложить измерить с помощью транспортира углы, образованные прямыми AB, DE и секущей AC; убедиться, что углы CAB и CDE равны. Следовательно, средняя линия DE параллельна стороне AB.

Все эти построения и измерения можно провести в программе GeoGebra (рис. 4).

Рис. 4

Перемещая вершины, форму треугольника можно изменять, но средняя линия треугольника будет оставаться параллельной одной из его сторон и равна её половине.

Теорема. Средняя линия трапеции параллельна её основаниям и равна их полусумме.

Прежде чем представлять формулировку теоремы и её доказательство, учащимся можно предложить изобразить трапецию ABCD (AB || CD); отметить середины E, F боковых сторон AD, BC соответственно; провести среднюю линию EF; с помощью линейки измерить её и основания AB, CD; убедиться, что средняя линия EF равна их полусумме.

Для того чтобы убедиться в параллельности средней линии EF основанию AB, учащимся можно предложить измерить с помощью транспортира углы, образованные прямыми AB, EF и секущей AD; убедиться, что углы DAB и DEF равны. Следовательно, средняя линия EF параллельна основанию AB, значит, и основанию CD.

Все эти построения и измерения можно провести в программе GeoGebra (рис. 5).

Рис. 5

Перемещая вершины, форму трапеции можно изменять, но её средняя линия будет оставаться параллельной основаниям и равна их полусумме.

Теорема. Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности.

Учащимся можно предложить изобразить окружность, вписанный в неё угол ACB и центральный угол AOB, опирающийся на ту же дугу; с помощью транспортира измерить эти углы и убедиться в справедливости теоремы.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra (рис. 6).

Рис. 6

Перемещая точки A, B, C, вписанный и центральный углы можно изменять, но при этом величина вписанного угла будет оставаться равной половине величины соответствующего центрального угла.

Теорема. Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, заключённые между этой точкой и точками касания, равны.

Учащимся можно предложить изобразить окружность; выбрать какую-нибудь точку вне этой окружности; провести из неё касательные к окружности и отметить точки касания; измерить отрезки касательных от выбранной точки до точек касания; убедиться в равенстве этих отрезков.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra (рис. 7).

Рис. 7

Положение точки C можно изменять, но отрезки касательных будут оставаться равными.

Теорема. Суммы противоположных сторон четырёхугольника, описанного около окружности, равны.

Учащимся можно предложить изобразить окружность; построить четырёхугольник, описанный около этой окружности; измерить его стороны и убедиться в том, что суммы противоположных сторон равны.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra (рис. 8).

Рис. 8

А именно, сначала построим окружность. Затем отметим какую- нибудь точку A вне этой окружности и проведем через неё касательные. Отметим на этих касательных точки B, D и проведём через них касательные к окружности. Найдём точку C их пересечения. Сделаем касательные невидимыми. Построим четырёхугольник ABCD и измерим его стороны.

Перемещая точки A, B, D, форму четырёхугольника ABCD можно изменять, но суммы его противоположных сторон будут оставаться равными.

Теорема. Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся в ней в отношении 2:1, считая от его вершин.

Учащимся можно предложить изобразить треугольник, провести в нём медианы и убедится, что они пересекаются в одной точке. С помощью линейки измерить расстояние от вершины треугольника до точки пересечения медиан и от неё до основания этой медианы. Убедиться в том, что первое расстояние в два раза больше второго.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra (рис. 9).

Рис. 9

Перемещая вершины, форму треугольника можно изменять, но его медианы будут пересекаться в одной точке, сохраняя отношение 2:1.

Теорема. Высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке (ортоцентре).

Учащимся можно предложить изобразить: а) остроугольный; б) прямоугольный; в) тупоугольный треугольник. Затем провести в них высоты или их продолжения; выяснить, в каком случае высоты пересекаются в одной точке, а в каком – их продолжения.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra (рис. 10).

а) б)

Рис. 10

Аналогичным образом можно поступить и с точкой пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (центр описанной окружности).

Теорема (Пифагора). В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Прежде чем доказывать эту теорему, учащимся можно предложить изобразить прямоугольный треугольник; измерить его катеты и гипотенузу; убедиться в том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

То же самое можно сделать и в программе GeoGebra (рис. 11).

Рис. 11

Для этого сначала строим отрезок AB. Затем на нём, как на диаметре, строим окружность. Выбираем на окружности какую-нибудь точку C и строим прямоугольный треугольник ABC. На сторонах этого треугольника строим квадраты и находим их площади. Убеждаемся, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

Перемещая вершину C по окружности, форму треугольника можно изменять, но площадь квадрата, построенного на гипотенузе, будет оставаться равной сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

Список использованных источников

1. Астряб А.М. Курс опытной геометрии. Индуктивно-лабораторный метод изложения. – 14-е изд. – М.-Л.: 1928.

2. Иовлев М.Н. Практическая геометрия. М.: Государственное издательство, 1922.

3. Компетентность Инициатива Творчество [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://aleshko.ucoz.kz

4. Компьютерная геометрия и графика [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.e-biblio.ru

5. Компьютерные программы по математике [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www.pcmath.ru

6. НАУЧНАЯ ЭЛЕКТРОННАЯ БИБЛИОТЕКА «КИБЕРЛЕНИНКА» [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. cyberlenica.ru

7. Учительский портал [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. uchportal. ru

8. The Geometer's Sketchpad (русская версия «Живая геометрия») [Электронный ресурс] / Режим доступа: http://www. keypress. Ru

5