СДЕЛАЙТЕ СВОИ УРОКИ ЕЩЁ ЭФФЕКТИВНЕЕ, А ЖИЗНЬ СВОБОДНЕЕ

Благодаря готовым учебным материалам для работы в классе и дистанционно

Скидки до 50 % на комплекты
только до 23.07.2025

Готовые ключевые этапы урока всегда будут у вас под рукой

Организационный момент

Проверка знаний

Объяснение материала

Закрепление изученного

Итоги урока

Возведение комплексного числа в степень

Категория: Математика

Нажмите, чтобы узнать подробности

Возведение комплексного числа в степень

Просмотр содержимого документа
«Возведение комплексного числа в степень»

Тема

Цели

Задачи

Контрольные вопросы и задания

Д/з

Возведение комплексного числа в степень.

Дидактическая


Обобщить и систематизировать ЗУН студентов по представлению комплексного числа в тригонометрической и показательной формах, изучить формулу возведения комплексного числа в степень, начать формирование умений и навыков возведения комплексного числа в степень.

1) Обобщить и систематизировать ЗУН студентов по представлению комплексного числа в тригонометрической и показательной формах.

2) Изучить формулу возведения комплексного числа в степень.

3) Начать формирование умений и навыков возведения комплексного числа в степень..

Контрольные вопросы и задания занятия

Изучить и записать конспект лекции, вычислить .

Развивающая


Развивать логическое мышление и память.

Воспитательная

Воспитывать любознательность и самостоятельность.


Возведение комплексного числа в степень.


1) Закрепление знаний, умений и навыков представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах (ответить на вопросы, решить задания и записать в конспект).

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ:

1) Сколько форм имеет комплексное число?

2) Назовите формы комплексного числа.

3) Какое комплексное число не может иметь тригонометрической и показательной формы? Почему?

4) В какой форме комплексные числа удобно складывать, вычитать, умножать и делить?

5) Какие основные понятия комплексного числа используются для представления его в тригонометрической и показательной формах?


2) Мотивация изучения нового материала (ознакомиться).

Для полного освоения теории комплексных чисел нам необходимо научиться выполнять с комплексными числами ещё две операции: возводить в степень и извлекать из под корня.

Почему эти операции нерационально выполнять в алгебраической форме?

Как их выполнять?

Всё это мы узнаем на сегодняшнем занятии.


3) Актуализация опорных знаний (изучить и записать в конспект).

Для изучения темы "Возведение комплексного числа в степень" нам необходимо ещё раз повторить как комплексное число представить в тригонометрической и показательной степени. Особенно - тригонометрической.


Пример 1. Представьте комплексное число - і в тригонометрической и показательной формах.

Решение.

Для того, чтобы выполнить данное задание по формуле (1) нам необходимо найти модуль r и аргумент φ данного числа, а затем применить формулу (1).

Проанализируем условие:

- і, a = , b = -1, IV четверть.

Сначала найдем модуль r:

r = | - і | = = .

Теперь по алгоритму найдем аргумент φ (мы уже его находили):

1) α = arctg | | = arctg | | = arctg =

2) φ = (формула для четвёртой четверти) = 2π- α = 2π- = .

Теперь запишем формулу, подставляя найденные значения:

- і = 2 ∙ ( + і ∙ ) = . Ничего упрощать не надо.


Пример 2. Представьте комплексное число -1 + і в тригонометрической и показательной формах. Решить самостоятельно.


Пример 3. Представьте комплексное число 5 в тригонометрической и показательной формах.

Решение.

Заданное комплексное число 5 имеет неполную форму (a = 5, b = 0), четверть не определяется (число находится на границе четверти, т.е. на какой-то оси). Поэтому модуль r и аргумент φ данного числа находить проще, чем полного комплексного числа:

r = |5 | = (это просто модуль числа 5) = 5.

Аргумент φ комплексного числа 5 найдём на основании определения аргумента, учитывая, что геометрическое изображение (точка) для данного числа находиться на положительной части оси ОХ. Тогда угол между положительным направлением ОХ и отрезком ОМ (М - геометричексое изображение комплексного числа) равен 0, т.е.

φ = 0.

Теперь запишем формулу, подставляя найденные значения модуля r и аргумента φ в формулу а + bі = r ∙ ( + і ∙ ) = r (1)

:

5 = 5 ∙ ( + і ∙ ) = . Ничего упрощать не надо.


Пример 4. Представьте комплексное число 2і в тригонометрической и показательной формах. Решить самостоятельно (геометрическое место данного числа будет находиться на положительном направлении оси ОУ, φ = .


4) Изучение нового материала. Возведение комплексного числа в степень (изучить и записать в конспект).

Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел удобно выполнять в алгебраической форме. При возведении комплексного числа в алгебраической форме в степень нам пришлось бы многократно умножать комплексное число на себя, что привело бы к трудоёмкой работе и массе технических ошибок.

Поэтому для возведения в степень лучше использовать тригонометрическую форму комплексного числа и формулу:

= ∙ ( + і ∙ ).


Пример 5. Вычислите .

Решение.

Для возведения в степень р 3 нужно использовать формулу, записанную на предыдущем занятии:

= ∙ ( + і ∙ ) (2).

Для этого нам необходимо найти модуль r и аргумент φ данного числа. Это задание выполнено в Примере 1:

- і, a = , b = -1, IV четверть.

Сначала найдем модуль r:

r = | - і | = = .

Теперь по алгоритму найдем аргумент φ (мы уже его находили):

1) α = arctg | | = arctg | | = arctg =

2) φ = (формула для четвёртой четверти) = 2π- α = 2π- = .

Теперь подставим всё в формулу (2), учитывая, что р = 10:

= ∙ ( + і ∙ ) = (выполним несложные упрощения) = 1024 ∙ ( + і ∙ ). Ничего упрощать не надо.


Пример 6. Вычислите . Решить самостоятельно.


3) Изучение нового материала. Извлечение комплексного числа из под корня (изучить и записать в конспект).

Корнем n-й степени из комплексного числа z называется такое комплексное число w, n-я степень которого равна z, т.е. , где n - натуральное число. (Обозначение ).

Для любого натурального числа n и любого комплексного числа , где z  0, существует n различных значений корня n-й степени, которые находятся по формуле:

, где k=0, 1, 2…, n-1, n N.


Пример 6. Найти все значения .

Решение.

.

, где k = 0,1,2.

k = 0, тогда ;

k = 1, тогда ;

k = 2, тогда .

Ответ: 1; .

Можно доказать, что все значения являются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса , значения аргументов соседних точек отличаются на .


5) Домашнее задание. Изучить и записать конспект лекции, вычислить .


Скачать

Рекомендуем курсы ПК и ППК для учителей

Вебинар для учителей

Свидетельство об участии БЕСПЛАТНО!