"Все , что мы знаем про треугольники"

          Признаки равнобедренного треугольника:  

      •   если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный;  

      •   если в треугольнике биссектриса является медианой или высотой,  

          то этот треугольник равнобедренный;  

      •   если в треугольнике медиана является биссектрисой или высотой,  

          то этот треугольник равнобедренный;  

      •   если в треугольнике высота является медианой или биссектрисой,  

          то этот треугольник равнобедренный.     

Свойства равносторонних треугольников

1) Все углы равностороннего треугольника равны по 60º

2)длины всех медиан, высот и биссектрис равны

3)  Высота ,  медиана  и  биссектриса , проведённые к каждой из сторон равностороннего треугольника, совпадают:

AK — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне BC;

BF — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AC;

CD — высота, медиана и биссектриса, проведённые к стороне AB.

Длины всех трёх высот (медиан, биссектрис) равны между собой:

AK=BF=CD.

Решение задач

1. Задачи на равнобедренные треугольники

№ 1:

На рисунке АВ=ВС,

1)

2)

3)

Ответ- 30 º

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, равна 8, а основание относится к боковой стороне как 6 : 5. Найти, на каком расстоянии от вершины треугольника находится точка пересечения его биссектрис.

№ 2

Пусть дан равнобедренный треугольник АВС  (рис. 1) .

1) Так как АС : ВС = 6 : 5, то АС = 6х и ВС = 5х. ВН – высота, проведенная к основанию АС треугольника АВС.

Так как точка Н – середина АС (по свойству равнобедренного треугольника), то НС = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.

2) Из треугольника ВНС – прямоугольного по теореме Пифагора

ВС 2  = ВН 2  + НС 2 ;

(5х) 2  = 8 2  + (3х) 2 ;

16х 2  = 64;

х 2  = 4;

х = 2, тогда

АС = 6х = 6 · 2 = 12 и

ВС = 5х = 5 · 2 = 10.

3) Так как точка пересечения биссектрис треугольника является центром вписанной в него окружности, то 

ОН = r . Радиус вписанной в треугольник АВС окружности найдем по формуле

S = pr;

r = S/p.

4) S ABC  = 1/2 · (AC · BH); S ABC  = 1/2 · (12 · 8) = 48;

p = 1/2 · (AB + BC + AC); p = 1/2 · (10 + 10 + 12) = 16, тогда ОН = r = 48/16 = 3.

Отсюда ВО = ВН – ОН; ВО = 8 – 3 = 5.

Ответ: 5.

№ 3

В равнобедренном треугольнике АВС проведена биссектриса АD. Площади треугольников ABD и ADC равны 10 и 12. Найти увеличенную в три раза площадь квадрата, построенного на высоте этого треугольника, проведенной к основанию АС.

Рассмотрим треугольник АВС – равнобедренный, АD – биссектриса угла А  (рис. 2).

1) Распишем площади треугольников ВАD и DAC:

S BAD  = 1/2 · AB · AD · sin α; S DAC  = 1/2 · AC · AD · sin α.

2) Найдем отношение площадей:

S BAD /S DAC  = (1/2 · AB · AD · sin α) / (1/2 · AC · AD · sin α) = AB/AC.

Так как S BAD  = 10, S DAC  = 12, то 10/12 = АВ/АС;

АВ/АС = 5/6, тогда пусть АВ = 5х и АС = 6х.

АН = 1/2 АС = 1/2 · 6х = 3х.

3) Из треугольника АВН – прямоугольного по теореме Пифагора АВ 2  = АН 2  + ВН 2 ;

25х 2  = ВН 2  + 9х 2 ;

ВН = 4х.

4) S AВС  = 1/2 · AС · ВН; S AВC  = 1/2 · 6х · 4х = 12х 2 .

Так как S AВС  = S BAD  + S DAC  = 10 + 12 = 22, тогда 22 = 12х 2 ;

х 2  = 11/6; ВН 2  = 16х 2  = 16 · 11/6 = 1/3 · 8 · 11 = 88/3.

5) Площадь квадрата равна ВН 2  = 88/3; 3 · 88/3 = 88.

Ответ: 88.

2. Задачи на равносторонние

треугольники

№ 1

Один из углов равнобедренного треугольника равен 120°. Найдите отношение сторон треугольника

Решение. Обозначим основание треугольника через b, боковые стороны через а (см. рис.). По теореме косинусов

Тогда отношения сторон треугольника а: а: в = 1:1:?3.

Ответ: 1:1: √ 3.

№ 2

  Найдите площадь круга, описанного вокруг равностороннего треугольника со стороной а  

Решение. Обозначим сторону треугольника через а. Тогда по теореме синусов имеем:

Площадь круга:

Ответ:

№ 3

Основание равнобедренного треугольника равно 4 √ 2, медиана боковой стороны равна 5. Найдите длину боковой стороны

Решение. Можно воспользоваться готовой формулой длины медианы:

Обозначим АВ через 2х, тотда ВМ = МС = х (см. рис.).

Имеем:

АВ = ВС = 6.

Использованные источники:

• wikipedia.com
• treugolniki.ru
• interneturok.ru
• blog.tutoronline.ru
• https://stydopedia.ru/