Вторая производная. её геометрический и физический смысл

(Раздел «Начала математического анализа»)

Профессии: 15.01.20 Слесарь по контрольно-измерительным приборам и автоматике, 09.01.03 Мастер по обработке цифровой информации, 23.01.03 Автомеханик, 09.01.01 Наладчик аппаратного и программного обеспечения

Учебные группы: КИП-11, М-11, А-11, Н-11

Учебная дисциплина: ООПу.04 Математика

Тема учебного занятия: Вторая производная. Её геометрический и физический смысл.

Тип урока: урок «открытия» новых знаний

Вид урока: лекция-беседа

Средства обучения:

• технические: мультимедийный проектор, персональный компьютер;

• информационно-коммуникационные: электронная презентация.

Цели урока:

методическая: использование объяснительно-иллюстративного метода обучения с целью формирования математического мышления студентов;

образовательная: создание условий для овладения знаниями о второй производной и её геометрическом и физическом смысле;

развивающая: развитие умений планировать, анализировать, выдвигать гипотезы по решению заданий, применять полученные знания для выполнения упражнений;

воспитательная: воспитание интереса к изучению математики, математической культуры студентов.

Прогнозируемые результаты:

1) предметные:

• сформированность знаний о второй производной и её геометрическом и физическом смысле;

• владение умением решать задачи на вторые производные;

2) метапредметные:

• регулятивные:

• умение ставить перед собой цель, видеть ожидаемый результат работы;

• умение рационально распределять рабочее время;

• умение объективно оценивать свои возможности, анализировать свои результаты, корректировать свои действия;

• владение навыками познавательной рефлексии;

• познавательные:

• умение осуществлять поиск и отбор необходимой информации;

• умение сопоставлять и анализировать, выделять в тексте базовые и вспомогательные концепты, опорные понятия, тезисы, структурировать их взаимосвязь;

• умение структурировать полученную информацию;

• умение анализировать и обобщать информацию;

• коммуникативные:

• умение продуктивно общаться и взаимодействовать в процессе совместной деятельности, учитывать позиции других участников деятельности;

• умение выражать свои мысли с достаточной полнотой и точностью.

Образовательные технологии: традиционное обучение.

Формы организации обучения: фронтальная, индивидуальная.

Методы обучения и контроля:

• вербальные: беседа;

• практические: метод сравнения, метод анализа и структурирования.

• методы контроля и самоконтроля: устный контроль, самоконтроль.

Нормативный документ

Федеральный государственный образовательный стандарт среднего общего образования (утв. приказом Министерства образования и науки Российской Федерации (Минобрнауки России) от 17 мая 2012 г. № 413 г.). – М.: Министерство образования и науки РФ, – 2012.

Образовательные ресурсы:

Основная литература

1. Башмаков М. И. Математика: учебник для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2018. – 256 с.

2. Башмаков М. И. Математика. Сборник задач профильной направленности: учеб. пособие для студ. учреждений сред. проф. образования. − М.: Издательский центр «Академия», 2014. – 416 с.

Дополнительная литература

1. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углубленный уровни).10—11 классы. Учебник. − М.: Просвещение, 2014. – 464 с.

2. Атанасян Л.С. Геометрия. 10 − 11 классы: учебник для общеобразовательных учреждений: базовый и профильный уровни / Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. – М.: Просвещение, 2013. – 255 с.

3. Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учеб. пособие для техникумов / Н.В. Богомолов. – М.: Высш. шк., 2013. – 495 с.

4. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 1): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 656 с.

5. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л., Яковлев Г.Н. Математика (Книга 2): Учебное пособие. – М.: Издательство «Новая волна», 2013. – 592 с.

6. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 10 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 430 с.

7. Никольский С.М. Алгебра и начала анализа: учебник для 11 класса общеобразоват. учреждений: базовый и профильный уровни / С.М. Никольский, М.К. Потапов. – М.: Просвещение, 2013. – 464 с.

Интернет-ресурсы:

1. Федеральный центр информационно-образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. fcior. edu. ru

2. Единая коллекции цифровых образовательных ресурсов [Электронный ресурс] URL: www. school-collection. edu. ru

Научно-методические ресурсы:

1. Инновационные педагогические технологии: учебное пособие/ Михелькевич В.Н., Нестеренко В.М., Кравцова П.Г. – Самар. гос. тех. ун-т Самара, 2001. – 89 с.

2. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 1: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2005. – 288 с.

3. Кульневич С.В., Лакоценина Т.П. Современный урок. Часть 3: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов пед. заведений, слушателей ИПК. – Ростов н/Д: Учитель, 2007. – 288 с.

4. Махмутов М.И. Проблемное обучение: Основные вопросы теории. – М.: Педагогика, 1975. – 368 с.

Основные термины и понятия: вторая производная.

Содержание учебного материала:

1) Сформированность знаний о вычислениях второй производной и её геометрическом и физическом смысле.

2) Закрепление теоретического материала по теме с помощью решения упражнений.

1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности (2 мин)

Преподаватель приветствует студентов, создает деловую обстановку, настраивает на продуктивную мыслительную деятельность.

1. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (15 мин)

Преподаватель задает вопросы студентам:

1. Что такое производная второго, третьего, n-го порядка?

2. Какой геометрический смысл второй производной?

3. Какой физический смысл второй производной.

Студенты отвечают на эти вопросы, вспоминая знания, полученные на предыдущем занятии.

Формулирование темы и целей учебного занятия.

1. Работа над новой темой («открытие» нового знания) (48 мин)

Алгоритм работы над «открытием» нового знания:

Формулирование преподавателем определений второй производной. Объяснение её геометрического и физического смысла.

Теория

Производная функции  , сама является функцией. Значит, можно найти её производную.

Назовём   производной функции  первого порядка.

Производная от производной функции   называется производной второго порядка (или второй производной).

Производная от второй производной называется производной третьего порядка (или третьей производной) и т. д.

Производные, начиная со второй, называются производными высших порядков и обозначаются 𝑦′′ (иногда ), 𝑦′′′ (иногда ),

Иногда используются обозначения 

Ускорение есть вторая производная координаты по времени. В этом состоит механический смысл второй производной.

Производная 𝑛-го порядка является производной   порядка:  .

(Сама функция иногда считается производной 0-го порядка.)

Пример:

;

;

;

;

;

;

.

, поэтому все производные функции   равны:

.

1. Включение нового знания в систему имеющихся знаний (20 мин)

Примеры

Производная функции в точке   равна коэффициенту направления касательной функции   в точке  .

Доказательство

Касательная графика функции в точке    описывается как прямая, к которой стремится прямая  , если точка   перемещается по графику функции, стремясь к точке  . Обозначим точку   как   (см. рисунок).

Коэффициент направления прямой   равен тангенсу угла  :

.

Стремление точки   к точке   — то же самое, что стремление приращения аргумента   к нулю.

Наконец, используя определение производной, получаем, что коэффициент направления касательной равен производной функции в соответствующей точке.

.

Мгновенная скорость прямолинейного движения

Допустим, что зависимость координат материальной точки от времени описывает функция  . Средняя скорость в промежуток времени   является отношением перемещения   к потраченному времени:

.

Чтобы вычислить мгновенную скорость, нужно вычислить среднюю скорость в бесконечно малом промежутке времени, т. е. нужно вычислить предел отношения, если   стремится к нулю. Если этот предел существует, его значение совпадает с   (согласно определению производной):

.

Ускорение прямолинейного движения

Допустим, что материальная точка перемещается по прямой и зависимость её скорости от времени описывает функция  . Среднее ускорение передвижения в промежутке времени    является отношением изменения скорости к изменению времени  . Чтобы вычислить ускорение в момент времени  , нужно вычислить предел этого отношения, если   стремится к нулю. Поэтому  .

Величина тока

Допустим, что зависимость заряда, протекающего через поперечное сечение провода, от времени описывает функция  .  Нужно вычислить величину тока   в какой-либо момент времени. Среднюю величину тока можно вычислить как отношение   .

Мгновенная величина тока — это предел этого отношения, если изменение времени стремится к нулю,

т. е. производная функции  :

.

1. Рефлексия. Подведение итогов учебного занятия (5 мин)

Беседа со студентами по содержанию занятия. Вопросы для беседы:

1. Какая была тема сегодняшнего занятия?

2. Что нового вы узнали?

3. Какая была цель занятия?

4. Что получилось у вас сегодня?

5. Что не получилось?

6. Достигли ли мы поставленной цели?

7. Инструктирование о выполнении домашнего задания

Лекция