Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии.

10 класс

ВВЕДЕНИЕ.

1. Предмет стереометрии.

Стереометрией называется раздел геометрии, изучающий фигуры и их свойства в пространстве.

Простейшими фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости. Плоскость изображается в виде параллелограмма или произвольной области, и обозначаются строчными греческими буквами: и т.д.

В школьном курсе стереометрии изучаются многогранники и тела вращения.

Многогранником называется геометрическое тело, которое состоит из конечного числа многоугольников.

Примерами многогранников являются призма, пирамида, параллелепипед, куб, и т.д.

Телом вращения называется геометрическое тело, которое образуется при вращении какой-либо геометрической фигуры вокруг одной из своих сторон.

Примерами тел вращения являются цилиндр, конус, усечённый конус, шар.

2. Аксиомы стереометрии.

В стереометрии, так же, как и в планиметрии, взаимное расположение простейших фигур подчиняется правилам, которые изложены в аксиомах стереометрии.

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и, притом, только одну.

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости (т.е. вся прямая лежит в этой плоскости).

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей (т.е. если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, на которой лежит эта точка).

Следствие 1. Через прямую и, не лежащую на ней, точку, проходит плоскость, и, притом, только одна.

Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и, притом, только одна.

ЗАДАНИЯ

ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ.

1. Даны четыре точки , не лежащие в одной плоскости.

Указать:

1. плоскости, которым принадлежит:

1. прямая б) точка в) точка

1. прямую пересечения плоскостей:

а) и б) и

1. Точки лежат в плоскости а точка не лежит в этой плоскости.

1. Принадлежит ли точка плоскости , если она лежит на прямой ?

2. Указать прямую пересечения плоскостей:

а) и б) и

1. Может ли точка принадлежать плоскости , если она лежит на прямой ?

2. Принадлежит ли прямая плоскости ?

1. Плоскости и пересекаются по прямой , точка не принадлежит прямой . Может ли точка принадлежать плоскостям и ?

1. Точка не лежит в плоскости . Пересекаются ли прямые и ?

1. Лучи и лежат в одной плоскости и пересекают плоскость в точках и . Доказать, что точки и лежат на одной прямой.

1. Прямые и пересекают плоскость в точках и . Лежат ли прямые и в одной плоскости?

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямые и принадлежат плоскостям и соответственно. Доказать, что прямые и не лежат в одной плоскости.

1. Плоскости и пересекаются по прямой , прямая лежит в плоскости . Построить точку пересечения прямой с плоскостью .

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Точки и принадлежат плоскости , а точка лежит в плоскости . Построить прямые пересечения плоскости с плоскостями и .

1. Пользуясь рисунком, назвать:

1. четыре точки, лежащие в плоскости ; в плоскости

2. плоскость, в которой лежит прямая прямая

3. прямую, по которой пересекаются плоскости и плоскости и .

1. Точка – общая точка плоскостей и . Прямая проходит через точку . Верно ли, что плоскости и пересекаются по прямой ? Ответ объясните.

1. Плоскости и имеют три общие точки. Верно ли, что эти плоскости совпадают? Ответ объясните.

1. Через прямую и точку можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение прямой и точки ? Ответ объясните.

1. Через точки и можно провести две различные плоскости. Каково взаимное расположение точек и ? Ответ объясните.

1. Пользуясь рисунком, назвать:

1. две плоскости, содержащие прямую прямую

2. прямую, по которой пересекаются плоскости и плоскости и

3. две плоскости, которые пересекает прямая прямая .

1. Прямые и имеют общую точку. Верно ли , что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

1. Прямые и попарно пересекаются. Верно ли, что данные прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямая лежит в плоскости и пересекает плоскость . Каково взаимное расположение прямых и ? Ответ объясните.

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Прямая лежит в плоскости и пересекает прямую . Каково взаимное расположение прямой и плоскости ? Ответ объясните.

2. Пользуясь рисунком, назвать:

1. три плоскости, содержащие прямую прямую

2. прямую, по которой пересекаются плоскости и плоскости и

3. плоскость, которая не пересекает прямую прямую .

1. Четыре прямые попарно пересекаются. Верно ли, что если любые три из них лежат в одной плоскости, то все четыре прямые лежат в одной плоскости? Ответ объясните.

1. Три различные плоскости имеют общую точку. Верно ли, что данные плоскости имеют общую прямую? Ответ объясните.

1. Вершина плоского четырёхугольника лежит в плоскости , а точки и не лежат в этой плоскости. Прямые и пересекают плоскость в точках и соответственно. Каково взаимное расположение точек и ? Ответ объясните.

1. Точка не лежит в плоскости . Прямые и проходят через точку и пересекают плоскость в точках и соответственно. Прямая не проходит через точку , пересекается с прямыми и , и пересекает плоскость в точке . Каково взаимное расположение точек и ? Ответ объясните.

1. По данным рисунка, построить:

1. точки пересечения:

1. прямой с плоскостью и прямой с плоскостью

2. прямой с плоскостью и прямой с плоскостью

1. линию пересечения:

1. плоскости с плоскостью

2. плоскости с плоскостью .

1. Плоскость содержит точки и , но не содержит точку .

1. точку пересечения

1. прямой и плоскости

2. прямой и плоскости

1. лежит ли точка в плоскости ? Ответ объясните.

1. Плоскости и пересекаются по прямой . Точка лежит в плоскости , точка лежит в плоскости , а прямая проходит через точку . Верно ли, что точка лежит на прямой ? Ответ объясните.

1. Точки и лежат в плоскости , Верно ли, что ? Ответ объясните.

1. По данным рисунка постройте:

1. точки пересечения:

1. прямой с плоскостью и прямой с плоскостью

2. прямой с плоскостью и прямой с плоскостью

1. линию пересечения:

1. плоскости с плоскостью

2. плоскости с плоскостью .

1. На рисунке точки и лежат в плоскости , а точки и – в плоскости .

1. Построить линии пересечения:

1. плоскости с плоскостями и

2. плоскости с плоскостями и

1. Определить, при каком расположении:

1. точки в плоскости линия пересечения плоскостей и совпадает с прямой . Ответ объясните.

2. точки в плоскости линия пересечения плоскостей и совпадает с прямой . Ответ объясните.

1. На данном рисунке вершины треугольника лежат на отрезках и , а точка – на отрезке . Лежит ли точка на отрезке ? Почему?

1. На данном рисунке вершины треугольника лежат на отрезках и , а точка – на отрезке . Лежит ли точка на отрезке ? Почему?

1. На данном рисунке точка лежит в плоскости , а точка – на отрезке . Построить:

1. точки пересечения:

1. прямой с плоскостью и прямой с плоскостью ;

2. прямой с плоскостью и прямой с плоскостью

1. линию пересечения:

1. плоскости с плоскостью

2. плоскости с плоскостью

1. На данном рисунке точки и лежат в плоскости , а точка не лежит в этой плоскости.

1. Построить линию пересечения:

1. плоскостей и

2. плоскостей и

1. Определить, при каком взаимном расположении точек и линия пересечения данных плоскостей не будет пересекаться с плоскостью .

1. Стороны и треугольника лежат в плоскости . Докажите, что и медиана этого треугольника лежит в плоскости .

1. Точки и лежат в каждой из двух различных плоскостей. Докажите, что данные точки лежат на одной прямой.

1. Прямая лежит в плоскости . Прямая пересекает плоскость в точке , не лежащей на прямой . Докажите, что прямые и не пересекаются.

1. Прямые и не лежат в одной плоскости. Докажите, что прямые и не пересекаются.

1. Докажите, что через две точки можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей?

1. Докажите, что через прямую можно провести две различные плоскости. Сколько существует таких плоскостей?

1. Докажите, что если через прямую и точку можно провести единственную плоскость, то .

1. Докажите, что если через три точки можно провести единственную плоскость, то эти точки не лежат на одной прямой.

1. Из точки , не лежащей в плоскости , проведены три луча, пересекающие плоскость в точках и . Прямая пересекает эти лучи в трёх различных точках. Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

1. Плоскость и плоскость треугольника имеют общую точку . Точка – середина отрезка . Прямые и пересекают плоскость в точках и . Докажите, что точки и лежат на одной прямой.

1. Прямые и пересекаются. Докажите, что существует плоскость, содержащая только одну из двух данных прямых. Сколько существует таких плоскостей?

1. Прямая и плоскость пересекаются. Докажите, что существует плоскость, пересекающая и прямую , и плоскость . Сколько существует таких плоскостей?

1. Из четырёх данных точек одна не лежит в плоскости, определяемой тремя другими. Докажите, что этим свойством обладают и три другие данные точки.

1. Дано точек , среди которых любые четыре лежат в одной плоскости. Докажите, что все данных точек лежат в одной плоскости.

1. Даны плоскости и . Докажите, что если линия пересечения плоскостей и пересекается с линией пересечения плоскостей и , то плоскости и имеют ровно одну общую точку.

1. Даны плоскости и . Докажите, что если линия пересечения плоскостей и пересекает плоскость , то плоскости и имеют ровно одну общую точку.

1. Три прямые пересекаются попарно, но не имеют общей точки. Докажите, что существует плоскость, пересекающая все три данные прямые. Всякая ли плоскость обладает таким свойством?

1. Три прямые имеют общую точку. Докажите, что существует плоскость, пересекающая все три данные прямые. Всякая ли плоскость обладает таким свойством?

1. В плоскости двух пересекающихся прямых и задана точка , не принадлежащая эти прямым. Прямая , лежащая в данной плоскости, проходит через точку . Как может быть расположена прямая относительно данных прямых?

1. Даны три точки, не принадлежащие одной прямой. Докажите, что все прямые, пересекающие два из трёх отрезков, соединяющих данные точки, лежат в одной плоскости.

1. Плоскость задана прямой и, не принадлежащей ей, точкой . Построить в этой плоскости прямую , отличную от данной прямой, и, не проходящую через данную точку.

5