Введение в мир комплексных чисел

Введение в мир комплексных чисел

(программа элективных курсов для учащихся 10 класса)

Составлено Севостьяновой Л.А.,

учителем математики МБОУ

гимназии №9 г. Ставрополя,

учителем высшей категории

Рассмотрено и утверждено

на заседании

методического объединения

протокол №2 от 03.09.2015 г.

Пояснительная записка.

Математическое образование занимает одно из ведущих мест в системе основного общего образования, что определяется безусловной практической значимостью математики, её возможностями в развитии и формировании мышления человека, её вкладом в создание представлений о научных методах познания действительности.

Актуальным остаётся вопрос дифференциации обучения математике, позволяющей, с одной стороны, обеспечить базовую математическую подготовку, а с другой – удовлетворить потребности каждого, кто проявляет интерес и способности к предмету.

Понятие комплексного числа обогащает и завершает одну из основных идей школьной математики – идею обобщения понятия числа. Знание комплексных чисел позволяет учащимся глубже осмыслить такие разделы школьной программы, как решение уравнений и неравенств, тригонометрические функции.

В настоящее время комплексные числа используются в математике гораздо шире, чем действительные числа. Действительные числа – это только часть комплексных чисел. Открытие комплексных чисел вооружило учёных новыми, более мощными методами исследования. Многие теоремы алгебры, которые раньше приходилось разбивать на ряд частных случаев, после введения комплексных чисел приобрели общность. Новыми методами пополнилось решение уже известных задач, существенно обогатилось и само содержание их, стала бурно развиваться одна из важнейших ветвей математического анализа – теория функции комплексного переменного. Применение комплексных чисел позволяет проще и изящнее решать многие известные задачи, даёт возможность обнаружить новые факты и делать обобщения.

Предлагаемый элективный курс рассчитан на 17 часов (1 час в неделю), его благоприятнее всего вводить в 1 полугодии 10 класса, когда у учащихся сформировано представление о действительных числах и пройден курс тригонометрии. С 2004 года тема «Комплексные числа» изучается в 11 классе, поэтому данный курс носит ознакомительный, пропедевческий характер, так как является важным содержательным компонентом в современной системе непрерывного математического образования.

Цели курса:

1. Повышение математической культуры учащихся.

2. Углубление представлений о понятии числа.

3. Дальнейшее развитие представлений о единстве математики как науки.

4. Отметить важное прикладное значение комплексных чисел ввиду многообразия приложения изучаемых понятий как внутри самой математики, так и в различных областях физики, техники и других наук, использующих математический аппарат.

Задачи курса:

• Сформировать у учащихся логическое представление о числах; восполнить пробелы в знаниях о числах.

• Сформировать навыки применения данных знаний при решении разнообразных задач различной сложности.

• Сформировать навыки самостоятельной работы.

• Сформировать умения и навыки исследовательской работы, работы со справочной литературой, с компьютером.

• Способствовать развитию алгоритмического мышления, воспитанию умений действовать по данному алгоритму.

• Показать, что источник возникновения изучаемых понятий – реальный мир, что они возникли из реальных потребностей человека.

• Способствовать развитию творческого и логического мышления у учащихся.

• Способствовать формированию познавательного и устойчивого интереса к математике; пополнить исторические сведения.

• Привить навыки работы в группах, выступать, вести переговоры, отстаивать своё мнение и интересы.

После изучения основных тем курса «Введение в мир комплексных чисел» учащиеся должны знать алгебраическую, геометрическую и тригонометрическую формы комплексного числа; должны уметь производить над комплексными числами операции: сложение, умножение, вычитание, деление, возведение в степень; уметь решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом, двучленные уравнения 3-й и 4-й степени.

Занятия могут проводиться как в традиционной форме (лекция, семинар), так и в виде заседаний «круглого стола», защиты творческих работ, практикумов.

В качестве текущего контроля предлагается тестирование, самостоятельные работы, которые позволяют проследить усвоение материала. В конце курса можно провести «круглый стол», где учащиеся обсуждают изученные темы, представляют дополнительный материал – реферат по любой теме курса.

Примерное тематическое планирование.

Содержание программы.

1. Числовые поля.

Развитие понятия числа: множество натуральных чисел, кольцо целых чисел, множества рациональных и действительных чисел. Цель: расширить понятие числа, рассмотреть понятия числового поля и числового кольца, проследить историю возникновения новых числовых множеств.

2. Расширение поля действительных чисел. Комплексные числа.

Необходимость появления множества чисел, в котором всегда было бы выполнимо извлечение корней; мнимая единица, комплексные числа, равенство комплексных чисел.

Цель: ввести определение комплексных чисел, мнимой единицы, равенства комплексных чисел.

3. Сложение комплексных чисел. Противоположные числа. Вычитание комплексных чисел.

Арифметические действия с комплексными числами, противоположные числа.

Цель: рассмотреть определения суммы и разности комплексных чисел, противоположных чисел; ввести правила сложения и вычитания комплексных чисел.

4. Умножение комплексных чисел.

Цель: рассмотреть определение произведения комплексных чисел, правило умножения комплексных чисел.

5. Деление комплексных чисел.

Цель: рассмотреть определение частного комплексных чисел, правило деления комплексных чисел.

6. Геометрическое изображение комплексных чисел.

Геометрические интерпретации комплексного числа, построение комплексного числа на плоскости.

Цель: научить изображать комплексные числа точками плоскости.

7. Сопряженные числа. Практический способ деления сопряженных чисел.

Цель: ввести определение сопряжённых комплексных чисел, свойство произведения двух сопряжённых комплексных чисел; научить применять его при делении комплексных чисел.

8. Извлечение корней квадратных из отрицательных чисел. Решение квадратных уравнений с отрицательными дискриминантами.

Цель: рассмотреть вопрос о числе корней квадратного уравнения; научить решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом.

9. Решение двучленных уравнений 3-й степени с действительными коэффициентами.

Цель: научить решать уравнения вида ax = b (с нахождением комплексных корней).

10. Решение двучленных уравнений 4-й степени с действительными коэффициентами.

Цель: научить решать уравнения вида ax= b (c нахождением комплексных корней).

11. Тригонометрическая форма комплексного числа. Умножение и деление комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

Цель: познакомить с тригонометрической формой записи комплексного числа, понятием модуля комплексного числа, научить выполнять действия умножения и деления комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме.

12. Извлечение корней из комплексного числа.

Цель: рассмотреть теорему о числе корней n-й степени комплексного числа, научить нахождению всех корней из числа i.

13. Итоговое занятие.

Цель: подвести итоги изучения основных тем курса, обсудить творческие работы учащихся, провести тестирование.

Примерные практические задания по темам.

1. 1) Образует ли кольцо:

а) множество всех чётных чисел;

б) множество всех нечётных чисел;

в) множество всех чисел, кратных некоторому числу p?

2) Образует ли поле :

а) множество всех дробей со знаменателем 3;

б) множество всех дробей, знаменатели которых есть степени числа 3?

3) Докажите, что множество всех конечных десятичных дробей образует кольцо, но не образует поле.

4) Докажите, что любое числовое поле либо совпадает с множеством всех рациональных чисел, либо содержит в себе это множество.

2. 1) Что значит, что два комплексных числа a + bi и c + di: а) равны друг другу; б) не равны друг другу?

2) Найти действительные числа x и y из уравнений:

а) (х – у) + (3х + у)i = 3 – 3i;

б) (х – 5у) + (2х –у)i = 6 + 3i.

3. 1) Найти действительные числа х и у из уравнений:

а) (0 + 3хi ) – (10х + 2уi ) = -5у +3i ;

б) (-3у + х i) – (-8х + 5уi ) = -2 + 12i ;

в) (х – 2уi ) – (у + 6хi ) = 0 + 21i.

г) (5х + 3уi ) + (2у – хi ) = 3 - i ;

д) (2х – 5 i) + (7у + 2хi ) = -12 + 3уi ;

е) (х + 3уi) + (у + 2хi ) = 4 + 8i.

4. Вычислите:

1) (5 + i ) (-2 + 3i );

2) (3 + 4i ) (6 – 5i );

3) (7 – 2 i) ((3,5 - i);

4) (0,5 + 0,2i ) (2 + 3i );

5) (7 + 4i );

6) (5 + i ) (15 – 3i );

7) (- i ) ( + 2i );

5. 1) Вычислите:

а) ; б) ; в) .

2) Доказать равенства:

а) ; б) = .

6. 1) Данные комплексные числа изобразить точками плоскости:

а) 1 + i ; б) 1 - i ; в) -2 + 3i ; г) -3 – 3i ; д) 5 + 0i ; е) -6 + 0i;

ж) 0 + 5i ; з) 0 – 4i.

2) Дать геометрическую интерпретацию формулам:

а) (1 +2i ) + (1 – 2i) = 2 + 0 i;

б) (3 – 4 i) + (-1 + 2 i) = 2 – 2i.

3) Пусть точка М служит изображением на плоскости комплексного числа a – bi. Где на той же плоскости расположены точки, изображающие числа:

а) 3а + 0i ; б) -5а + 0i ; в) 0 – bi; г) 0 + 5i; д) 4a + 3bi.

7. Вычислить:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) - ;

е) - i.

8. 1) (Устно) Решить уравнения:

а) х = -16; б) х = -2; в) 3х= -5.

2) Найти все комплексные числа, квадраты которых равны:

а) i; б) - .

3) Решить квадратные уравнения:

а) х- 2х + 2 = 0; б) 4х+ 4х + 5 = 0; в) х- 14х + 74 = 0.

4) Решить системы уравнений:

а) б)

9. 1) Решить уравнения:

а) 3х = 81; б) х = -27; в) х = 3; г) х = -5; д) 3х = 2.

2) Доказать, что сумма всех корней уравнения х= - 4 равна 0.

3) Найти произведение всех корней уравнения х = 6.

10. 1) Решить уравнения:

а) х = 81; б) х = - 81; в) х = 2; г) 3х = 5.

2) Найти сумму всех корней уравнения х = 4.

3) Найти произведение всех корней уравнения х= - 7.

11. 1) Данные комплексные числа записать в тригонометрической форме, определив их модули и аргументы:

а) 2 + 2I; б) + I; в) 6 – 6i; г) 12i – 5; д) 25; е) -4; ж) 3i;

б) 3i – 4.

2) Указать на плоскости множества точек, изображающих комплексные числа, модули r и аргументы φ которых удовлетворяют условиям:

а) r = 1, φ=; б) r = 2; в) r 3; г) 2 r .

3) Выполнить указанные действия:

а) 5(cos130 + i sin 40) 3 (cos50+ i sin50);

б) (+ i); в) .

12. 1) Найти все значения данных корней:

а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

2) Решить уравнения:

а) х= а (а – действительное число); б) х= i;

в) х+ х+ х+ х + 1 = 0.

Список рекомендуемой литературы.

• Виленкин Н.Я., Ивашов-Мусатов О.С., Шварцбург С.И. Алгебра и математический анализ 11, М.: Просвешение, 1995.

• Кутасов А.Д., Пиголкина Т.С., Чехлов В.И., Яковлева Т.Х. Пособие по математике для поступающих в вузы, М.: «Наука», 1985.

• Фаддеев Д.К., Никулин М.С., Соколовский И.Ф. Элементы высшей математики для школьников, М,: «Наука», 1983.

• Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел: Кн. для уч-ся, М,: Просвещение, 1986.