Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения

СВ 210 ЕН. 01 Математика

Преподаватель: Водяхина Н. В. Электронный адрес почты: nata.vodiahina2014@yandex.ru

Задание выдано 18.05.20. Задание выполнить до следующего занятия.

Законспектировать лекцию и разобрать примеры!

Тема: «Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел вращения»

Цель: научиться вычислять площади плоских фигур и объемы тел вращения.

Вычисление площади плоской фигуры

При вычислении площадей плоских фигур с применением определенного интеграла мы рассмотрим следующие случаи:

1. Фигура ограничена непрерывной и неотрицательной на отрезке функции f(x), осью ОХ и прямыми и . В этом случае согласно геометрическому смыслу определенного интеграла площадь S фигуры численно равна , т.е.

S= (1)

2. Фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке

функции f (x), осью ОХ и прямыми и

Рассмотрим функцию – f(x). Фигура аА₁В₁b симметрична фигуре аАВb относительно оси ОХ, а следовательно, их площади S₁ и S равны.

Но

Поэтому

(2)

3. Фигура ограничена осью О_х, прямыми х = а , х = b и графиком функции f (x), которая непрерывна на отрезке и меняет свой знак конечное число раз на этом отрезке. В этом случае разбивают отрезок на такие частичные отрезки, на которых функция f (x) знакопостоянна на соответствующих отрезках. В нашем примере имеется три таких отрезка: :

Очевидно, что искомая площадь S численно равна алгебраической сумме интегралов, взятых по каждому из полученных отрезков, причем знаки, с которыми эти интегралы входят в алгебраическую сумму, совпадают со знаками функции f (x) на соответствующих отрезках. Так, например, площадь фигуры, представленной на рисунке , вычисляется по формуле

4. Фигура ограничена графиками двух непрерывных на отрезке функций f(x) и g(x) и прямыми х = а , х = b,где и (рис. 52) В этом случае искомая площадь S вычисляется по формуле:

(3)

5. Фигура ограничена графиками трех и более непрерывных на отрезке функций. В этом случае стараются искомую площадь представить в виде алгебраической суммы площадей, вычисление каждой из которых сводиться к одному из предыдущих четырех случаев. Так, например, площадь фигуры, изображенной на рисунке

вычисляется по формуле

Вычисление объема тела вращения

Объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции,

ограниченной кривой , осью Ох и прямыми х=а и х=b, вычисляется по формуле:

(4)

Аналогично, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси ОУ криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью Ох и прямыми х=с и х=d, вычисляется по формуле

(5)

Примеры

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями .

Решение: построим графики функций. Применив формулу (1), найдем площадь фигуры

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = –х² – 1, у = 0, х = –1. х = 2.

Решение: Построим графики заданных функций:

По формуле (2) находим

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = sin x, y = 0, x = - /2, x = .

Решение: очевидно, что для всех и для всех .

Поэтому:

Пример 4. Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями

Из рисунка видно, что искомая площадь или

Пример 5. Вычислить объем фигуры, образованной вращением площади, ограниченной линиями , y=0 и х=4 вокруг оси Ох.

Решение: выполним построение плоской фигуры. При вращении этой фигуры вокруг оси ОХ получим параболоид. Пределы интегрирования а=0 и b=4. По формуле (4) получим

(куб. ед.)

Пример 6. Вычислить объем фигуры, образованной вращением площади, ограниченной линиями и у=0 вокруг оси Ох.

Р ешение: Выполним построение плоской фигуры. В силу симметрии фигуры относительно оси Оу возьмем пределы интегрирования от 0 до 3, а затем полученный результат удвоим. По формуле (4) находим