Вычисляем углы и расстояния в призме

ФИО разработчика

Смирнова Ирина Геннадьевна

Место работы

МОУ школа – интернат №2 «Рыбинский кадетский корпус»

Класс (укажите класс, к которому относится урок):

10

Место урока (по тематическому планированию ПРП)

Призма. Правильная призма. (81-82)

Тема урока

Призма.

Уровень изучения

Углублённый

Тип урока:

Урок применения знаний и умений

Планируемые результаты (по ПРП):

Личностные

- мотивация образовательной деятельности на основе личностно-ориентированного подхода, формирование познавательных интересов, интеллектуальных и творческих способностей учащихся;

- формирование умений работать в группе, представлять и отстаивать свои взгляды и убеждения, вести дискуссию

- формирование у каждого ученика навыков самоконтроля.

- содействие развитию наглядно-образного мышления, формированию потребности применять методы исследования

Метапредметные

- формирование умений воспринимать, перерабатывать и предъявлять информацию в словесной, образной, символической формах, анализировать и перерабатывать полученную информацию, выделять основное, находить ответы на поставленные вопросы

- соотнесение теоретических и практических представлений

Предметные

- оперировать понятиями призма, куб параллелепипед, знать их элементы, виды, изображения

- развивать и углублять знания учащихся о многообразии видов многогранников, проводить исследование, уметь анализировать, систематизировать новый материал, применять полученные знания к решению задач.

- оперировать понятиями, связанными с сечениями, углами и расстояниями в пространстве.

Ключевые слова (введите через запятую список ключевых слов, характеризующих урок): призма, расстояние, угол, грани, вершины.

Краткое описание. В классе углублённого изучения математики 50%/50% будут сдавать базу и профиль. Поэтому с учётом учебного плана работаем на углублённом уровне, но каждый урок самостоятельные, парные и домашние задания идут с учётом профильной дифференциации. План рассчитан на 2 урока. После изучения определения, элементов, видов призм, их построения и вычисления площадей поверхности, два урока отвожу на разбор случаев вычисления расстояний и углов в призме на заданиях невысокого уровня сложности, но всё-таки очень полезных (по моему мнению) для учеников обоих уровней.

На уроке используются фронтальная, групповая и индивидуальная формы организации учебной деятельности, наглядный метод восприятия информации, профильная дифференциация.

Используемое оборудование: интерактивная панель, бумажные готовые модели призм (раздатка), задачи открытого банка ЕГЭ

БЛОК 1. Вхождение в тему урока и создание условий для осознанного восприятия нового материала

Этап 1.1. Мотивирование на учебную деятельность

- Здравствуйте, ребята, начинаем наш урок. Какую тему мы изучаем? (Многогранники)

- Коробка, небоскрёб, сэндвич, кристалл, медовые соты, холодильник имеют форму какого многогранника? (Призмы)

Этап 1.2. Актуализация опорных знаний

Фронтальный опрос

- Что мы о призме уже знаем? (Определение, изображение, виды, элементы)

- Сформулируйте определение призмы

- Перечислите виды призм

• по основанию

• по боковому ребру

Мозговой штурм.

- На доске три одинаковые призмы

- Определите их вид (прямая, треугольная)

- Давайте их сделаем разными

1) у первой в основании прямоугольный треугольник

2) у второй в основании равнобедренный треугольник

3) а третья – правильная

- Какой можно сделать вывод? (Рисунок одинаковый, разными его делают обозначения, они очень важны)

- Сформулируйте определение правильной призмы

- Назовите элементы призмы (грани, рёбра, вершины)

- Какое наименьшее число граней может иметь многогранник? (4)

- Как называется такой многогранник? (тетраэдр) Появляется модель на доске

- Сколько у него рёбер и вершин? (рёбер – 6, вершин – 4)

- Дан куб

- Сколько у куба граней, рёбер, вершин? (Граней – 6, рёбер – 12, вершин – 8)

- У куба отпилили уголок. Сделайте рисунок и определите, сколько граней, рёбер и вершин у полученного тела.

(Граней – 7, рёбер – 15, вершин – 10).

- Вспомните, что изучали в 10 классе до многогранников? (параллельность и перпендикулярность в пространстве)

- Что вычисляли? (сечения, расстояния и углы в пространстве)

- Да, учились их строить, видеть, вычислять

Этап 1.3. Целеполагание

Ребята формулируют тему

- Какие цели вы поставите перед собой? (Научиться применять полученные знания и умения для призмы)

БЛОК 2. Постановка проблемы и поиск путей решения проблемы

Этап 2.1. Осуществление учебных действий в изменённых условиях

Учебная проблема: учиться вычислять расстояние между точками, от точки до прямой, от точки до плоскости в призме.

Учебная ситуация 1

Дана прямая 4-угольная призма ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которой прямоугольник. АВ=1, AD=8, AA₁=4.

Учащимся предоставляется модель призмы.

Вопросы к учащимся:

1. Вычислите расстояние между точками А₁ и С. ( ). Ответ: 9.

2. Вычислите расстояние от точки В до прямой А₁С.

( , где ВН – высота ▲ВСА₁). Ответ:

3. Вычислите расстояние от точки А₁ до плоскости ВСС₁В₁.

( ). Ответ: 1.

Вывод: расстояния в 4 –угольной призме вычислить несложно. Хочется рассмотреть и другие задачи на эти расстояния.

Учебная ситуация 2

- Какие углы в пространстве мы считаем? (между прямыми пересекающимися или скрещивающимися, между прямой и плоскостью, между плоскостями

1. В правильной 4-угольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известно, что А₁С=2АВ. Найдите угол между диагоналями А₁С и В₁D.

Ответ: 60º.

2. В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 6, найти угол между прямыми АА₁и СВ₁.

, т.к. АА₁ ll ВВ₁. Ответ: 45°.

3. В основании прямой 4-угольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ – прямоугольник. Известны длины рёбер АВ=6, АD=8, АА₁=21. Найти синус угла между прямыми АС и А₁D₁.

, т.к. А₁С₁llАС. Ответ: 0,6.

4. В правильной 4-угольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ все рёбра равны 6. Найти угол между прямой ВD₁ и плоскостью АВС.

Ответ:

5. В правильной треугольной призме все рёбра равны 6. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через ребро нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Определите вид сечения. Вычислите площадь сечения. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

С₁А=

Ответ:

Вывод: все расстояния, углы и площади сечений можно вычислять в призме, это интересно, надо порешать еще задач. Рассмотреть пример с шестиугольной призмой.

Этап 2.2. Проверка усвоения

Пожалуй, самым сложным случаем является случай вычисления угла и расстояния между скрещивающимися прямыми. Используя приобретенные новые знания, ответьте на вопросы:

- как вычислить угол между скрещивающимися рёбрами в прямой призме? (Найти угол между пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся).

- как вычислить расстояние между скрещивающимися прямыми в призме? (Решение может включать построение общего перпендикуляра к прямым и вычисление его длины).

БЛОК 3. Применение изученного материала

Этап 3.1. Применение знаний, в том числе в новых ситуациях

Самостоятельно разобрать и записать решение задачи

- В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны , нужно найти расстояние между прямыми AA₁ и BC₁ и угол между ними. Ответ: 1,5; 45°.

Этап 3.2. Выполнение заданий в формате ГИА (ОГЭ, ЕГЭ)

Базовый уровень

Профильный уровень

Ответ: 6; 18.

2. В прямой 4-угольной призме ABCDA₁B₁C₁D₁ известны длины рёбер: AB=28, AD=16, AA₁=12. Найдите синус угла между прямыми DD₁ и B₁C.

Ответ: 90º; 0,8.

Этап 3.3. Развитие функциональной грамотности

БЛОК 4. Проверка приобретенных знаний, умений и навыков

Этап 4.1. Диагностика/самодиагностика

Работа в парах.

- От деревянного куба отпилили все его вершины. Сколько вершин у получившегося многогранника?

- К правильной треугольной призме приклеили правильную треугольную пирамиду так, что основания совпали. Сколько граней у получившегося многогранника?

БЛОК 5. Подведение итогов, домашнее задание

Этап 5.1. Рефлексия

Продолжите высказывания об уроке.

1. Мне понравился сегодняшний урок тем…

2. Для меня тема трудная, вот если бы…

3. Для меня тема легкая, и я …

Этап 5.2. Домашнее задание. Задачи на карточках

База

Профиль

1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁ все ребра равны 1. Найдите угол DAB. Ответ дайте в градусах.

2. Вычислите количество проволоки для изготовления каркаса в виде правильной шестиугольной призмы, все рёбра которой равны 10 см.

Ответ: 60°, 180 см.

1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все рёбра которой равны 1, нужно найти угол между прямыми АА₁ и Е₁С. 

2. В основании прямой треугольной призмы прямоугольный равнобедренный треугольник. Катеты основания 6, боковое ребро 8. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через катет нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания. Определите вид сечения и его площадь. Найдите угол между плоскостью сечения и плоскостью основания.

Ответ: