Вычисление площадей многоугольников на клетчатой бумаге.Задания на экзаменах ОГЭ и ЕГЭ

Вычисление площадей многоугольников на клетчатой бумаге с применением различных способов

(пригодится на ОГЭ и ЕГЭ)

Рекомендации

Для решения таких заданий, надо знать формулы

вычисления площадей треугольника, прямоугольника,

трапеции, параллелограмма, квадрата!!!!!

Встречаются задачи, где используются свойства

площадей. Фигуру надо разбить на части, площади

которых можно найти по знакомым формулам. Или

наоборот, фигуру надо достроить. Получится большая

фигура, площадь которой мы сможем найти.

На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см на 1 см

изображены различные фигуры. Надо найти

площадь. Ответ записать в квадратных сантиметрах

(наименования в ответ не писать)

катет

Найти площадь фигуры

Помощь

b

a

S = a b

1

6

2

катет

a, b – катеты прямоугольного треугольника

5

1см

1

5

х

3

х

1

0

высота

Помощь

Найти площадь фигуры

h

a

5

S = a h a

1

2

основание

7

a - основание

h a - высота

1см

1

,

7

5

х

3

х

1

0

основание

Найти площадь фигуры

Помощь

h

a

5

8

S = a h a

1

высота

2

a - основание

h a - высота

1см

2

0

х

3

х

1

0

высота

Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.

Найти площадь фигуры

Помощь

5

h

a

основание

6

S = a h a

1

1см

2

a - основание

h a - высота

1

5

х

3

х

1

0

Формула Пика

6

Если вершины многоугольника находятся в точках с целочисленными координатами (в декартовой системе координат), то его площадь можно вычислить по формуле Пика:

S = В + Г/2 − 1

Вычислить площадь фигуры

В - есть количество

целочисленных точек

внутри многоугольника

В = 7

Г – количество

целочисленных точек

на границе многоугольника

Г = 8

S = В + Г/2 − 1

Это соотношение открыл и доказал австрийский математик Георг Александр Пик (Georg Alexander Pick) в 1899 г.

Итак, S = 7 + 8/2 − 1 = 10

6

Вычислить площадь параллелограмма

2

1

4

Первый способ:

1. S = 7·4 = 28

2. S 1 = S 3 , S 2 = S 4

3. 2S 2 = 5·1 = 5

4. 2S 1 = 3·2 = 6

5. S = 28 – 11 = 17

3

1

3

4

2

5

7

Ответ: 17

6

Вычислить площадь параллелограмма

Второй способ:

Внутренние В = 16

Граничные Г = 4

Формула Пика

S = В + Г/2 − 1

Площадь параллелограмма S = 16 + 4/2 – 1 = 17

Ответ: 17

Пользоваться формулой Пика я советую очень осторожно, потому что сбиться со  счета в подсчете граничных точек довольно легко, поэтому лучше её использовать в качестве инструмента проверки . 

6

основание

Для тупоугольного треугольника высота может находиться во внешней области треугольника.

Найти площадь фигуры

Помощь

3

h

высота

a

8

S = a h a

1

1см

2

a - основание

h a - высота

1

2

х

3

х

1

0

Считаем количество точек

Найти площадь фигуры

В = 10

S = В + Г/2 − 1

●

Г = 6

●

●

S = 10 + 6/2 – 1 = 12

●

●

●

1см

1

2

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Помощь

Площадь многих фигур можно найти, разбивая их на части или, наоборот, достраивая до более крупных, но удобных для вычисления площадей фигур.

2

3

S 1

S 2

3

5

Достроим этот треугольник до квадрата

S - ?

2

S 3

Тогда площадь треугольника можно найти так:

5

S = S кв – S 1 – S 2 – S 3

1см

1

,

0

5

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считаем количество точек

В = 9

S = В + Г/2 − 1

Г = 5

S = 9 + 5/2 – 1 = 10,5

S - ?

1см

1

,

0

5

х

3

х

1

0

основание

высота

Найти площадь фигуры

Очевидно, что данный треугольник равнобедренный.

Помощь

1

S = a h a

2

h

6

a

a - основание

h a - высота

6

Найдем основание по теореме Пифагора

1см

Найдем высоту по теореме Пифагора

1

2

х

3

х

1

0

Другое решение

Достроим фигуру до квадрата

Найти площадь фигуры

Найдём площади всех фигур:

1) квадрат со стороной 6,

2) два прямоугольных треугольника с катетами 1 и 5,

3) квадрат со стороной 1.

S 2

S 3

S 1

S - ?

6

S 4

S = S кв – S 1 – S 2 – S 3 – S 4

6

1см

1

2

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

1

2

х

3

х

1

0

высота

Найти площадь фигуры

Эту фигуру удобно достроить до большего треугольника.

основание

1см

1

2

х

3

х

1

0

Вычислить площадь фигуры

Внутренние В = 10

Граничные Г = 6

Площадь фигуры

S = 10 + 6/2 – 1 = 12

1 см

Формула Пика

S = В + Г/2 − 1

1

2

х

3

х

1

0

19

высота

Найти площадь фигуры

Площадь трапеции найти очень просто, если знаешь формулу.

a

Помощь

4

основание

h

3

b

S = (a+b ) h

1

основание

9

2

a, b – основания трапеции

h – высота

1см

1

,

9

5

х

3

х

1

0

высота

a

Найти площадь фигуры

Помощь

9

основание

h

b

6

S = (a+b ) h

1

2

a, b – основания трапеции

h – высота

основание

1

1см

3

0

х

3

х

1

0

основание

основание

a

Найти площадь фигуры

Помощь

h

высота

b

8

S = (a+b ) h

2

1

7

2

a, b – основания трапеции

h – высота

1см

3

6

х

3

х

1

0

высота

a

Найти площадь фигуры

Помощь

6

основание

h

b

5

S = (a+b ) h

1

2

a, b – основания трапеции

h – высота

основание

4

1см

2

5

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

2

5

х

3

х

1

0

высота

a

Найти площадь фигуры

Помощь

9

основание

h

b

5

S = (a+b ) h

1

2

a, b – основания трапеции

h – высота

основание

4

1см

3

,

2

5

х

3

х

1

0

основание

основание

a

Найти площадь фигуры

Помощь

h

b

S = (a+b ) h

1

4

2

высота

a, b – основания трапеции

h – высота

7

2

1см

2

1

х

3

х

1

0

26

Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить.

a

Помощь

h

Найти площадь фигуры

b

S = (a+b ) h

1

3

S 1

2

7

a, b – основания трапеции

h – высота

S 2

1

S 3

1

Если на экзамене ты разволновался и забыл формулу для вычисления площади трапеции…

Ты получишь тот же ответ, но ты должен понимать, что потратишь больше времени!

1см

Этот способ не самый простой

2

1

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

2

1

х

3

х

1

0

28

Многие задачи можно решить разными способами.

высота

высота

Найти площадь фигуры

Выполним дополнительные построения так, чтобы получить фигуры, площади которых мы сможем вычислить.

S 1

основание

S 2

1см

Второй ученик решал другим способом

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Второй ученик знает только, как вычислить площадь прямоугольного треугольника!

S 2

S 1

S - ?

Помощь

S = a b

1

b

2

S 3

S 4

a

Ужасно длинный способ!

Ищу другой!!!

a, b – катеты прямоугольного треугольника

1см

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Ученик, который знает больше формул, решит задачу быстрее

Найти площадь фигуры

d 1

Помощь

d 2

S = d 1 d 2

1

2

d 1 , d 2 – взаимно перпендикулярные диагонали четырехугольника

1см

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

3

,

1

5

х

3

х

1

0

Первым решит задачу тот, кто знает формулу для вычисления площади параллелограмма.

высота

Найти площадь фигуры

Помощь

h

7

a

S = a h a

основание

4

1см

a – основание параллелограмма

h a – высота, проведенная к основанию

2

8

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

1см

2

8

х

3

х

1

0

Некоторые фигуры необходимо разбить на части или наоборот достроить…

Найти площадь фигуры

7

S 1

S - ?

7

S 2

S 4

S 3

S 5

1см

3

3

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

S - ?

1см

3

3

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Если известно, что данная фигура прямоугольник, то найдем его длину и ширину по теореме Пифагора.

6

a

6

S - ?

b

1см

3

6

х

3

х

1

0

Найти площадь фигуры

Можно найти площадь каждого треугольника, а затем сложить результаты…

1см

Найти площадь фигуры

9

Можно достроить до большого квадрата.

S 1

9

S - ?

Подумай, как найти площадь прямоугольника теперь…

S 3

1см

Найти площадь фигуры

Считай количество точек

Примени формулу Пика

S = В + Г/2 − 1

S - ?

1см

3

6

х

3

х

1

0