Выпускная квалификационная работа на тему "Методика решения нестандартных задач"

МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

РЕГИОНАЛЬНЫЙ ЦЕНТР ПЕРЕПОДГОТОВКИ И ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ РАБОТНИКОВ НАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ТАШКЕНТСКОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ПЕДАГОГИЧЕСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ ИМЕНИ НИЗАМИ

" Допущено к защите"

Директор РЦПИПКРНО

при ТГПУ имени Низами

________________ И.Ш.Исматов

“______”______________ 2018 год

Выпускная квалификационная работа

на тему

"МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ НЕСТАНДАРТНЫХ ЗАДАЧ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ"

слушателя курса по квалификационному направлению

учителя математики средней школы

Давлятова Ирина Валерьевна

Заведующий кафедрой: _______Махкамов А.

Научный руководитель: _______Хайдаров Б.К

Ташкент -2018 год

Аннотация

Выпускная квалификационная работа написана на тему: «Методика решения нестандартных задач на уроках математики».

В начале работы раскрываются понятие нестандартных задач и психолого-педагогическое обоснование их применения на уроках ма-тематики . Далее говорится об эффективности использования нестандартных задач на уроках математики и во внеурочной деятельности не только для успешного усвоения математики, но и позволяет учащимся более уверенно ориентироваться в простейших закономерностях окружающей их действительности и активнее использовать математические знания в повседневной жизни.

Большое внимание в работе уделяется разнообразию нестандартных задач, перечислены основные методы , применяемые для их решения. Дана сравнительная характеристика этим методам. Также указано на сложности, которые могут возникать в процессе работы с такими задачами. В частности, дать учащимся правила, позволяющую решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющую решить любую задачу, к сожалению нет. Но это позволяет выполнить главную задачу учителя – не просто передать учащимся определенное количество знаний по предмету, а воспитать активно мыслящую личность.

В заключительной части работы даются некоторые рекомендации по использованию нестандартных задач на уроках математики.

Введение

В настоящее время возрастает потребность общества в людях, способных творчески подходить к любым изменениям, нетрадиционно и качественно решать существующие проблемы. Она обусловлена ускорением темпов развития общества и, как следствие, необходимостью подготовки людей к жизни в быстроменяющихся условиях. В связи с этим руководством Узбекистана была принята «Стратегия действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан», в которой одним из приоритетных направлений развития является развитие сферы образования и науки, повышение доступности качественных образовательных услуг, подготовка высококвалифицированных кадров в соответствии современным требованиям рынка.

Согласно Закону Республики Узбекистан « Об образовании» и «Национальной программе по подготовке кадров», в целях обеспечения непрерывности и последовательности, создания современной методологии преподавания общеобразовательных предметов, усовершенствования на основании компетенционного подхода ГСО общеобразовательного и средне специального образования в целях разработки нового поколении учебно-методических комплексов и внедрения их в практику, 6 апреля 2017 года утвержден Приказ №187 «Об утверждении Образовательных Стандартов общесреднего образования и средне-специального профессионального образования.

Цели Государственных образовательных Стандартов это воспитание духовно и интеллектуально развитой личности на основе государственных социально-экономических преобразований в обществе, передового опыта

развитых зарубежных государств, достижений в области науки и техники, информационно-коммуникативных технологий.

Особое внимание специалистов, занимающихся вопросами школьного математического образования, направлено на модернизацию задачного материала, так как представленные в современных учебных пособиях задачи, как правило, предполагают алгоритмический способ решения, чем значительно сужают операционное и информационное поле деятельности учащихся.

Систематическое использование на уроках математики и внеурочных занятиях специальных задач и заданий, направленных на развитие логического мышления, расширяет математический кругозор школьников, помогает усвоению программного материала. Но часто учителя на практике сталкиваются со сложностями при работе с таким материалом. Причину вижу в том, что в рамках программы большая часть учителей работает по «накатанным» шаблонам, а нестандартные задачи рассчитаны на творчество, поиск, выход за рамки привычного мышления и отведенного времени.

Цель исследования - доказать , что эффективное использование задач в процессе обучения в значительной мере определяет не только качество обучения математике, но и воспитание, развитие индивидуальных сущностных качеств личности учащихся и степень их практической подготовленности к деятельности в различных сферах экономики, политики, науки, искусства.

В соответствии с поставленной целью определены задачи исследования:

1. Изучение психолого-педагогической научно-методической литературы и характеристика понятий «интерес» и «нестандартная задача»;

2. Выявление видов нестандартных задач;

3. Ознакомление с методами решения нестандартных задач;

4. Составление рекомендаций по использования нестандартных задач на уроках математики, как вспомогательного материала.

1. Психолого-педагогическая литература в освещении применения нестандартных задач на уроках математики.

Внимание специалистов, занимающихся проблемами модернизации содержания школьного математического образования, привлекают задачи определенного жанра, в специальной литературе обозначенные различными синонимичными терминами: проблемные, творческие, поисковые, эвристические, т. е. задачи, способ решения которых не находится в распоряжении субъекта, — задачи нестандартные объективно или субъективно. Нестандартная задача, как особый вид математических упражнений, является темой многих зарубежных и отечественных исследований.

История вопроса уходит в глубину веков и восходит к «коллекциям проблем» египтян, греков, индийцев, китайцев, арабов. Этому вопросу посвящались работы многих математиков и педагогов: Л. Пизанского (Фибоначчи), Д. Кардано, П. Ферма, В. Лейбница, Л. Эйлера, К. Гаусса, И. Краснопольского, В. И. Обреимова, Е. И. Игнатьева, Я. И. Перельмана. Современные исследования по обозначенной проблеме принадлежат М. Гарднеру, Г. В. Поляку, Д. Пойа, Ю. М. Колягину, Л. М. Фридману и освещают в основном вопросы классификации нестандартных задач и приемов их решения.

Эффективно организованная учебная деятельность школьников в процессе решения указанных задач является важнейшим средством формирования математической культуры, таких качеств математического мышления, как гибкость, критичность, логичность, рациональность, органическое сочетание которых проявляется в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность. Замечено, что нестандартные задачи вносят эмоциональный момент в умственную работу, позволяют рассматривать ситуацию их решения как проблемную, что способствует развитию внутренней мотивации, активизирующей психические процессы (память, внимание, мышление), за счет чего качественнее и быстрее формируются значимые для осуществления учебной деятельности мыслительные операции и познавательные умения. Для решения нестандартных задач учащимся необходимо приложить определенные усилия, проявить волю, настойчивость и целеустремленность. Необычность приемов решения прививает вкус к самостоятельным исследованиям, проявлению изобретательности, пробуждает положительные эмоции как в процессе решения задач, так и при достижении результата. Педагогический опыт свидетельствует, что «…эффективно организованная учебная деятельность учащихся в процессе решения нестандартных задач является важнейшим средством формирования математической культуры и качеств математического мышления; органическое сочетание этих качеств проявляется в особых способностях человека, дающих ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность»

Значимость нестандартных задач определяется тем, что они обеспечивают: 1) усвоение программных знаний на более высоком уровне, так как процесс их решения не связан с необходимостью применения заученных правил и приемов, а требует мобилизации всех накопленных знаний, приучает к поиску своеобразных, нешаблонных способов действия; 2) возможность выявления математических и общеинтеллектуальных способностей учащихся, установления уровня обученности и обучаемости, развития математического мышления, формирования познавательных интересов; 3) проверку способности и умения самостоятельно учиться. Одним из средств развития интереса к математике являются нестандартные задачи. Остановимся на них подробнее.

2.  Нестандартные задачи и их виды

Понятие «нестандартная задача» используется многими методистами. Так, Ю. М. Колягин раскрывает это понятие следующим образом: «Под нестандартной понимается задача, при предъявлении которой учащиеся не знают заранее ни способа ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение» .

Определение нестандартной задачи приведено также в книге «Как научиться решать задачи» авторов Л.М. Фридмана, Е.Н. Турецкого: «Нестандартные задачи - это такие, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения» .

Не следует путать нестандартные задачи с задачами повышенной сложности. Условия задач повышенной сложности таковы, что позволяют ученикам довольно легко выделить тот математический аппарат, который нужен для решения задачи по математике. Учитель контролирует процесс закрепления знаний, предусмотренных программой обучения решением задач этого типа. А вот нестандартная задача предполагает наличие исследовательского характера. Однако если решение задачи по математике для одного учащегося является нестандартным, поскольку он незнаком с методами решения задач данного вида, то для другого - решение задачи происходит стандартным образом, так как он уже решал такие задачи и не одну. Одна и та же задача по математике в 5 классе нестандартна, а в 6 классе она является обычной, и даже не повышенной сложности.

Опираясь на анализ теории и практики использования нестандартных задач в обучении математике, можно установить их общую и специфическую роль.Нестандартные задачи:

· учат детей использовать не только готовые алгоритмы, но и самостоятельно находить новые способы решения задач, т.е. способствуют умению находить оригинальные способы решения задач;

· оказывают влияние на развитие смекалки, сообразительности учащихся;

· препятствуют выработке вредных штампов при решении задач, разрушают неправильные ассоциации в знаниях и умениях учащихся, предполагают не столько усвоение алгоритмических приемов, сколько нахождение новых связей в знаниях, к переносу знаний в новые условия, к овладению разнообразными приемами умственной деятельности;

· создают благоприятные условия для повышения прочности и глубины знаний учащихся, обеспечивают сознательное усвоение математических понятий.

Нестандартные задачи:

· не должны иметь уже готовых, заученных детьми алгоритмов;

· должны быть доступны по содержанию всем учащимся;

· должны быть интересными по содержанию;

· для решения нестандартных задач учащимся должно хватать знаний, усвоенных ими по программе.

Решение нестандартных задач активизирует деятельность учащихся. Учащиеся учатся сравнивать, классифицировать, обобщать, анализировать, а это способствует более прочному и сознательному усвоению знаний.

Как показала практика, нестандартные задачи весьма полезны не только для уроков, но и для внеклассных занятий, для олимпиадных заданий, так как при этом открывается возможность по-настоящему дифференцировать результаты каждого участника. Такие задачи могут с успехом использоваться и в качестве индивидуальных заданий для тех учеников, которые легко и быстро справляются с основной частью самостоятельной работы на уроке, или для желающих в качестве дополнительных заданий. В результате учащиеся получают интеллектуальное развитие и подготовку к активной практической деятельности.

Общепринятой классификации нестандартных задач нет, но Б.А. Кордемский выделяет следующие виды таких задач:

· Задачи, примыкающие к школьному курсу математики, но повышенной трудности - типа задач математических олимпиад. Предназначаются в основном для школьников с определившимся интересом к математике; тематически эти задачи обычно связаны с тем или иным определённым разделом школьной программы. Относящиеся сюда упражнения углубляют учебный материал, дополняют и обобщают отдельные положения школьного курса, расширяют математический кругозор, развивают навыки в решении трудных задач.

· Задачи типа математических развлечений. Прямого отношения к школьной программе не имеют и, как правило, не предполагают большой математической подготовки. Это не значит, однако, что во вторую категорию задач входят только лёгкие упражнения. Здесь есть задачи с очень трудным решением и такие задачи, решение которых до сих пор не получено. «Нестандартные задачи, поданные в увлекательной форме, вносят эмоциональный момент в умственные занятия. Не связанные с необходимостью всякий раз применять для их решения заученные правила и приёмы, они требуют мобилизации всех накопленных знаний, приучают к поискам своеобразных, не шаблонных способов решения, обогащают искусство решения красивыми примерами, заставляют восхищаться силой разума».

К этому виду задач относятся:

1. Разнообразные числовые ребусы («… примеры, в которых все или некоторые цифры заменены звездочками или буквами и головоломки на смекалку;

2. Логические задачи, решение которых не требует вычислений, но основывается на построении цепочки точных рассуждений;

3. Задачи, решение которых основывается на соединении математического развития и практической смекалки: взвешивание и переливания при затруднительных условиях;

4. Математические софизмы - это умышленное, ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. (Софизм - доказательство ложного утверждения, причём ошибка в доказательстве искусно замаскирована. Софизм в переводе с греческого означает хитроумную выдумку, ухищрение, головоломку);

5. Задачи-шутки;

6. Комбинаторные задачи, в которых рассматриваются различные комбинации из заданных объектов, удовлетворяющие определённым условиям (Б.А. Кордемский, 1958).

Не менее интересна классификация нестандартных задач, приведённая И.В. Егорченко:

· задачи, направленные на поиск взаимосвязей между заданными объектами, процессами или явлениями;

· задачи, неразрешимые или не решаемые средствами школьного курса на данном уровне знаний учащихся;

· задачи, в которых необходимо:

проведение и использование аналогий, определение различий заданных объектов, процессов или явлений, установление противоположности заданных явлений и процессов или их антиподов; осуществление практической демонстрации, абстрагирование от тех или иных свойств объекта, процесса, явления или конкретизации той или иной стороны данного явления;

установка причинно-следственных отношений между заданными объектами, процессами или явлениями;

построение аналитическим или синтетическим путем причинно-следственных цепочек с последующим анализом получившихся вариантов;

правильное осуществление последовательности определенных действий, избегая ошибок-«ловушек»;

осуществление перехода от плоскостного к пространственному варианту заданного процесса, объекта, явления или наоборот (И.В. Егорченко, 2003).

3. Методы решения нестандартных задач

Каковы же методы обучения решению задач по математике, которые мы считаем на данный момент нестандартными? Универсального рецепта, к сожалению, никто не придумал, учитывая уникальность данных задач. Некоторые учителя натаскивают в шаблонных упражнениях. Происходит это следующим образом: учитель показывает способ решения, а затем ученик повторяет это при решении задач многократно. При этом убивается интерес учащихся к математике, что, по меньшей мере, печально.В математике нет каких-либо общих правил, позволяющих решить любую нестандартную задачу, так как такие задачи в какой-то степени неповторимы. Нестандартная задача в большинстве случаев воспринимается как «вызов интеллекту, и порождает потребность реализовать себя в преодолении препятствия, в развитии творческих способностей» .Рассмотрим, несколько методов решения нестандартных задач:

· алгебраический;

· арифметический;

· метод перебора;

· метод рассуждения;

· практический;

· метод предположения.

Алгебраический метод решения задач развивает творческие способности, способность к обобщению, формирует абстрактное мышление и обладает такими преимуществами, как краткость записи и рассуждений при составлении уравнений, экономит время.

Для того чтобы решить задачу алгебраическим методом необходимо:

· провести разбор задачи с целью выбора основного неизвестного и выявления зависимости между величинами, а также выражения этих зависимостей на математическом языке в форме двух алгебраических выражений;

· найти основание для соединения этих выражений знаком «=» и составить уравнение;

· найти решения полученного уравнения, организовать проверку решения уравнения.

Все эти этапы решения задачи логически связаны между собой. Например, о поисках основания для соединения двух алгебраических выражений знаком равенства мы упоминаем как об особом этапе, но ясно, что на предыдущем этапе указанные выражения образуются не произвольно, а с учётом возможности соединить их знаком «=».

Как выявление зависимостей между величинами, так и перевод этих зависимостей на математический язык требует напряжённой аналитико-синтетической мыслительной деятельности. Успех в этой деятельности зависит, в частности от того, знают ли учащиеся, в каких отношениях вообще могут находиться эти величины, и понимают ли они реальный смысл этих отношений (например, отношений, выраженных терминами «позже на…», «старше в…раз» и т.п.). Далее требуется понимание, каким именно математическим действием или, свойством действия или какой связью (зависимостью) между компонентами и результатом действия может быть описано то или иное конкретное отношение.Приведём пример решения нестандартной задачи алгебраическим методом.

Задача. Рыбак поймал рыбу. Когда у него спросили: «Какова её масса?», он ответил: «Масса хвоста - 1кг, масса головы такая же, как масса хвоста и половины туловища. А масса туловища такая, как масса головы и хвоста вместе». Какова масса рыбы?

Решение:Пусть х кг - масса туловища; тогда (1+1/2х) кг - масса головы. Так как по условию масса туловища равна сумме масс головы и хвоста, составляем и решаем уравнение:

х = 1 + 1/2х + 1,

х - 1/2х =2,

х/2 = 2,

х = 4.

4 кг - масса туловища, тогда 1+1/2 • 4=3 (кг) - масса головы и 3+4+1=8 (кг) - масса всей рыбы;

Ответ: 8 кг.

Арифметический метод решения также требует большого умственного напряжения, что положительно сказывается на развитии умственных способностей, математической интуиции, на формировании умения предвидеть реальную жизненную ситуацию. Рассмотрим пример решения нестандартной задачи арифметическим методом:

Задача. У двух рыбаков спросили: «Сколько рыбы в ваших корзинах?»

«В моей корзине половина того, что в корзине у него, да ещё 10», - ответил первый. «А у меня в корзине столько, сколько у него, да ещё 20», - подсчитал второй. Мы сосчитали, а теперь посчитайте вы.

Решение: Построим схему к задаче. Обозначим первым отрезком схемы количество рыбы у первого рыбака. Вторым отрезком обозначим количество рыбы у второго рыбака.

В связи с тем, что современному человеку необходимо иметь представление об основных методах анализа данных и вероятностных закономерностях, играющих важную роль в науке, технике и экономике, в школьный курс математики вводят элементы комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики, в которых удобно разбираться при помощи метода перебора.

Включение комбинаторных задач в курс математики оказывает положительное влияние на развитие школьников. «Целенаправленное обучение решению комбинаторных задач способствует развитию такого качества математического мышления, как вариативность. Под вариативностью мышления мы понимаем направленность мыслительной деятельности ученика на поиск различных решений задачи в случае, когда нет специальных указаний на это» .

Комбинаторные задачи можно решать различными методами. Условно эти методы можно разделить на «формальные» и «неформальные». При «формальном» методе решения нужно определить характер выбора, выбрать соответствующую формулу или комбинаторное правило (существуют правила суммы и произведения), подставить числа и вычислить результат. Результат - это количество возможных вариантов, сами же варианты в этом случае не образовываются.

При «неформальном» же методе решения на первый план выходит сам процесс составления различных вариантов. И главное уже не сколько, а какие варианты могут получиться. К таким методам относится метод перебора. Этот метод доступен даже младшим школьникам, и позволяет накапливать опыт практического решения комбинаторных задач, что служит основой для введения в дальнейшем комбинаторных принципов и формул. Кроме того, в жизни человеку приходится не только определять число возможных вариантов, но и непосредственно составлять все эти варианты, а, владея приёмами систематического перебора, это можно сделать более рационально.

Задачи по сложности осуществления перебора делятся на три группы:

1 . Задачи, в которых нужно произвести полный перебор всех возможных вариантов.

2. Задачи, в которых использовать приём полного перебора нецелесообразно и нужно сразу исключить некоторые варианты, не рассматривая их (то есть осуществить сокращённый перебор).

3. Задачи, в которых операция перебора производится несколько раз и по отношению к разного рода объектам.

Приведём соответствующие примеры задач:

Задача. Расставляя знаки «+» и «-» между данными числами 9…2…4, составь все возможные выражения.

Решение: Проводится полный перебор вариантов:

а) два знака в выражении могут быть одинаковыми, тогда получаем:

9 + 2 + 4 или 9 - 2 - 4;

б) два знака могут быть разными, тогда получаем:

9 + 2 - 4 или 9 - 2 + 4.

Задача. Учитель говорит, что он нарисовал в ряд 4 фигуры: большой и маленький квадраты, большой и маленький круги так, что на первом месте находится круг и одинаковые по форме фигуры не стоят рядом, и предлагает ученикам отгадать, в какой последовательности расставлены эти фигуры.

Решение:Всего существует 24 различных расположения этих фигур. И составлять их все, а потом выбирать соответствующие данному условию нецелесообразно, поэтому проводится сокращённый перебор.

На первом месте может стоять большой круг, тогда маленький может быть только на третьем месте, при этом большой и маленький квадраты можно поставить двумя способами - на второе и четвёртое место.

Аналогичное рассуждение проводится, если на первом месте стоит маленький круг, и также составляются два варианта.

Задача. Три компаньона одной фирмы хранят ценные бумаги в сейфе, на котором 3 замка. Компаньоны хотят распределить между собой ключи от замков так, чтобы сейф мог открываться только в присутствии хотя бы двух компаньонов, но не одного. Как это можно сделать?

Решение: Сначала перебираются все возможные случаи распределения ключей. Каждому компаньону можно дать по одному ключу или по два разных ключа, или по три.

Предположим, что у каждого компаньона по три разных ключа. Тогда сейф сможет открыть один компаньон, а это не соответствует условию.

Предположим, что у каждого компаньона по одному ключу. Тогда, если придут двое из них, то они не смогут открыть сейф.

Дадим каждому компаньону по два разных ключа. Первому - 1 и 2 ключи, второму - 1 и 3 ключи, третьему - 2 и 3 ключи. Проверим, когда придут любые два компаньона, смогут ли они открыть сейф. Могут прийти первый и второй компаньоны, у них будут все ключи (1 и 2, 1 и 3). Могут прийти первый и третий компаньоны, у них также будут все ключи (1 и 2, 2 и 3). Наконец, могут прийти второй и третий компаньоны, у них тоже будут все ключи (1 и 3, 2 и 3). Таким образом, чтобы найти ответ в этой задаче, нужно выполнить операцию перебора несколько раз.

При отборе комбинаторных задач нужно обращать внимание на тематику и форму представления этих задач. Желательно, чтобы задачи не выглядели искусственным, а были понятны и интересны детям, вызывали у них положительные эмоции. Можно для составления задач использовать практический материал из жизни.

При этом ученик как бы экспериментирует, наблюдает, сопоставляет факты и на основании частных выводов делает те или иные общие заключения. В процессе этих наблюдений обогащается его реально-практический опыт. Именно в этом и состоит практическая ценность задач на перебор. При этом слово «перебор» используется в смысле разбора всех возможных случаев, которые удовлетворяют условиям задачи, показав, что других решений быть не может.

Эту задачу можно решить и алгебраическим методом.

Пусть Коту х лет, тогда Маркизу 3х, исходя из условия задачи, составим уравнение:

3х - х = 28,

2х = 28,

х = 28: 2,

х = 14.

Коту сейчас 14 лет, тогда прошло 14 - 3 = 11(лет).

Ответ: 11 лет прошло.

Метод рассуждений можно использовать для решения математических софизмов. Ошибки, допущенные в софизме, обычно сводятся к следующим: выполнению «запрещённых» действий, использованию ошибочных чертежей, неверному словоупотреблению, неточности формулировок, «незаконным» обобщениям, неправильным применениям теорем.Раскрыть софизм - это, значит, указать ошибку в рассуждении, основываясь на которой была создана внешняя видимость доказательства.

Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме - это, значит, осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях. Помимо критичности математического мышления этот вид нестандартных задач выявляет гибкость мышления. Сумеет ли ученик «вырваться из тисков» этого строго логичного на первый взгляд пути, разорвать цепь умозаключений в том самом звене, которое является ошибочным и делает ошибочным все дальнейшие рассуждения?

Разбор софизмов помогает также сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность и критическое отношение к тому, что изучается.

а) Вот, к примеру, софизм с неправильным применением теоремы.

Докажем, что 2 • 2 = 5.

Возьмём в качестве исходного соотношения следующее очевидное равенство: 4 : 4 = 5 : 5 (1). Вынесем за скобки общий множитель в левой и правой частях, получим:4 • (1 : 1) = 5 • (1 : 1) (2)

Числа в скобках равны, значит, 4 = 5 или 2 • 2 = 5.

Решение:В рассуждении при переходе от равенства (1) к равенству (2) создана иллюзия правдоподобия на основе ложной аналогии с распределительным свойством умножения относительно сложения.

б) Софизм с использованием «незаконных» обобщений.

Имеются две семьи - Ивановых и Петровых. Каждая состоит из 3 человек - отца, матери и сына. Отец Иванов не знает отца Петрова. Мать Иванова не знает матери Петровой. Единственный сын Ивановых не знает единственного сына Петровых. Вывод: ни один член семьи Ивановых не знает ни одного члена семьи Петровых. Верно ли это?

Решение: Если член семьи Ивановых не знает равного себе по семейному статусу члена семьи Петровых, то это не значит, что он не знает всю семью. Например, отец Иванов может знать мать и сына Петровых.

Метод рассуждений можно использовать и для решения логических задач. Под логическими задачами обычно понимают такие задачи, которые решаются с помощью одних лишь логических операций. Иногда решение их требует длительных рассуждений, необходимое направление которых заранее нельзя предугадать.

Задача: Говорят, что Тортилла отдала золотой ключик Буратино не так просто, как рассказал А. Н. Толстой, а совсем иначе. Она вынесла три коробочки: красную, синюю и зелёную. На красной коробочке было написано: «Здесь лежит золотой ключик», а на синей - «Зелёная коробочка пуста», а на зелёной - «Здесь сидит змея». Тортилла прочла надписи и сказала: «Действительно в одной коробочке лежит золотой ключик, в другой - змея, а третья - пуста, но все надписи неверны. Если отгадаешь, в какой коробочке лежит золотой ключик, он твой». Где лежит золотой ключик?

Решение:Так как все надписи на коробочках неверны, то в красной коробочке лежит не золотой ключик, зеленая коробочка не пустая и в ней не змея, значит в зеленой коробочке - ключик, в красной - змея, а синяя - пуста.

При решении логических задач активизируется логическое мышление, а это умение выводить следствия из посылок, которое крайне необходимо для успешного овладения математикой. Хотя общих правил для решения нестандартных задач нет (поэтому эти задачи и называются нестандартными), однако мы постарались дать ряд общих указаний - рекомендаций, которыми следует руководствоваться при решении нестандартных задач разных видов.

Каждая нестандартная задача оригинальна и неповторима в своём решении. В связи с этим разработанная методика обучения поисковой деятельности при решении нестандартных задач не формирует навыки решения нестандартных задач, речь может идти лишь об отработке определённых умений:

· умения понимать задачу, выделять главные (опорные) слова;

· умения выявлять условие и вопрос, известное и неизвестное в задаче;

· умения находить связь между данным и искомым, то есть проводить анализ текста задачи, результатом которого является выбор арифметического действия или логической операции для решения нестандартной задачи;

· умения записывать ход решения и ответ задачи;

· умения проводить дополнительную работу над задачей;

· умение отбирать полезную информацию, содержащуюся в самой задаче, в процессе её решения, систематизировать эту информацию, соотнося с уже имеющимися знаниями.

Нестандартные задачи развивают пространственное мышление, которое выражается в способности воссоздавать в уме пространственные образы объектов и выполнять над ними операции. Пространственное мышление проявляется при решении задач типа: «Сверху на кромке круглого торта поставили 5 точек из крема на одинаковом расстоянии друг от друга. Через все пары точек сделали разрезы. Сколько всего получилось кусочков торта?»

Практический метод можно рассмотреть для нестандартных задач на деление.

Задача. Палку нужно распилить на 6 частей. Сколько потребуется распилов?

Решение: Распилов потребуется 5.

При изучении нестандартных задач на деление надо понять: чтобы разрезать отрезок на Р частей, следует сделать (Р - 1) разрез. Этот факт нужно установить с детьми индуктивным путём, а затем использовать при решении задач.

Задача. В трёхметровом бруске - 300 см. Его надо разрезать на бруски длиной 50 см каждый. Сколько надо сделать разрезов?

Решение: Получаем 6 брусков 300 : 50 = 6 (брусков)

Рассуждаем так: чтобы разделить брусок пополам, т. е. на две части, надо сделать 1 разрез, на 3 части - 2 разреза и так далее, на 6 частей - 5 разрезов.

Итак, надо сделать 6 - 1 = 5 (разрезов).

Ответ: 5 разрезов.

Итак, одним из основных мотивов, побуждающих школьников учиться, является интерес к предмету. Интерес - это активная познавательная направленность человека на тот или иной предмет, явление и деятельность, созданная с положительным эмоциональным отношением к ним. Одним из средств развития интереса к математике являются нестандартные задачи. Под нестандартной задачей понимают такие задачи, для которых в курсе математики не имеется общих правил и положений, определяющих точную программу их решения. Решение таких задач позволяет учащимся активно включиться в учебную деятельность. Существуют различные классификации задач и методов их решения. Самыми часто используемыми являются алгебраический, арифметический, практический методы и метод перебора, рассуждения и предположения.

Учитывая разнообразие типов нестандартных задач, здесь были перечислены далеко не все методы , используемые для их решения. Достаточно упомянуть табличный метод, метод графов, применяемые для решения логических задач типа «Кто есть кто», метод кругов Эйлера, с помощью которого решаются задачи на теорию множеств, и т.д.

4. Организация работы с нестандартными задачами на уроке.

Наблюдения показывают, что даже при решении несложной задачи учащиеся очень много времени тратят на рассуждение о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений. Направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач.

В чём должна заключаться помощь учителя, чтобы обеспечить максимальную самостоятельность учащегося при решении им задачи?

Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, что путём неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и заранее приобретённые знания. Часто уместным является начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что ученик уже владеет определённым запасом различных приёмов решения задач. Если этот запас невелик, то учитель, видя затруднения ученика, должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные наводящие вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения. Необходимо стремиться к тому, чтобы ученик испытал радость от решения для него трудной задачи, полученного с помощью вспомогательных задач, наводящих вопросов, предложенных учителем.

Учитель, подсказав какой формулой надо воспользоваться для решения задачи, на долю ученика оставляет очень мало. И всё же подсказка гораздо полезнее для ученика. Чем ознакомление с готовым решением: она может создать иллюзию того, что он сам решил предложенную учителем задачу; это даст возможность поверить в свои силы, укрепит его желание решать задачи.

Умение находить вспомогательные задачи, как и вообще умение решить задачи, приобретается практикой. Предлагая ученикам задачу, следует посоветовать выяснить, нельзя ли найти связь между данной задачей и какой-нибудь задачей с известным решением, решающейся проще.

Для приобретения навыков решения довольно сложных задач следует приучать школьников больше внимания уделять изучения полученного решения. Для этого полезно предлагать учащимся видоизменять условие задачи, чтобы закрепить способ её решения, придумывать задачи, аналогичные решённым, более или менее трудные, с использованием найденного при решении основной задачи способа решения.

Систематическая работа по изучения способов решения задач поможет учащимся не только решать задачи, но и самим составлять их составлять, анализировать решения. Конструирование задач- интересное занятие, один из верных способов научиться решать задачи.

Умение учащихся составлять нестандартные задачи, решаемые нестандартными способами, свидетельствует о культуре их мышления, хорошо развитых математических способностях.

При анализе решения задачи полезно сопоставить решение данной задачи с раннее решёнными, установить возможность её обобщения.

Учитель постоянно должен помнить, что решение задач не является не самоцелью, а средством обучения. Обсуждение найденного решения, поиск других решений, закрепление в памяти тех приёмов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приёмов, обобщение данной задачи – всё это даёт возможность школьникам учиться на задаче. При решении задач следует уделить должное внимание оформлению записи найденного решения . Запись решения должна быть четкой и достаточно полной, чтобы, заглянув в нее, можно было восстановить то, что может ученику пригодится при дальнейшем обучении математике

Заключение.

В заключении отметим, что решение задачи крайне сложный процесс, при описании которого невозможно все многообразие его сторон. Дать учащимся правила, позволяющую решить любую нестандартную задачу, невозможно, ибо нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы, а универсального метода, позволяющую решить любую задачу, к сожалению нет. Даже строгое выполнение всех указаний и следование советам учителя не сможет творческий процесс отыскания решений нестандартных задач определенные схемы.

Использованию в практике преподавания в начальной школе нестандартных математических задач предшествует большая подготовительная работа по их отбору. Поэтому необходимо сформулировать требования, на основе которых осуществляется отбор задач. Критерии оценки качества задач школьного курса математики сформулированы Ю. М. Колягиным. Конкретизируем их с учетом специфики учебного опыта и возрастных особенностей учащихся 5-6 классов.

1. Задача, предъявляемая школьнику, должна быть интересной и значимой для ученика, должна вызвать его желание к исследованию за счет:

— элементов новизны или занимательности в фабуле задачи как благоприятного фактора возбуждения интереса учеников к математике и мотивирования их интеллектуального труда;

— реальности описываемой в задаче ситуации, ее близости жизненному опыту ребенка;

— неожиданного, оригинального решения, требующего применения известных методов в необычных условиях, рационализации и упрощения уже известного приема.

2. Задача должна соответствовать возможностям учащихся начальных классов. Младший школьник должен не только хотеть, но и быть в состоянии решить предложенную задачу. Разочарование учеников слишком трудными математическими вопросами является одной из причин торможения их развития. Нерешенная задача отрицательно влияет на воспитание интереса к математике. Поэтому очень важно, особенно на данном этапе обучения предмету, чтобы поставленные перед школьниками нестандартные задачи были ими успешно решены. В этой связи внедренные в содержание математического образования нестандартные задачи должны:

а) соответствовать по объему элементов и сложности их отношений уровню теоретических знаний и практическому опыту учащихся (в целях обеспечения возможности самостоятельного их решения или хотя бы его понимания);

б) иметь преимущественно лаконичные формулировки;

в) допускать практическое решение (необходимым условием этого является наличие небольших числовых данных), а также разные варианты решения и способы проверки его правильности. В то же время решение задачи не должны быть слишком легким, основанным на догадках, не требующих ни знаний, ни навыков практических действий.

3. Система нестандартных задач для средней школы должна включать в себя все основные темы курса, тем самым обеспечивая отработку необходимых, предусмотренных программой знаний и умений, т. е. быть полной.

Вся совокупность изложенных здесь рекомендаций имеет целью облегчить поиски того пути, который приведет к решению задачи, уменьшив число бесплодных блужданий, неизбежных для каждого учащегося, опыт которого в решении задач невелик.

Список использованной литературы:

1. Указ Президента Республики Узбекистан УП№-4947 «О стратегии действий по дальнейшему развитию Республики Узбекистан»от 7 февраля 2017 года.

2. Постановление Кабинета Министров Республики Узбекистан № 140 от 15 марта 2017 года «Об утверждении Положения об общем и среднем образовании».

3. Постановление Кабинета Министров Республики Узбекистан №187 «Об утверждении государственных образовательных стандартов общеобразовательного, средне специального и профессионального образования» от 6 апреля 2017 года.

4. Ш.М.Мирзиеев, «Сегодня как никогда важно внимание к просвещению», 19 октября 2016 г.

5. Возрастная и педагогическая психология: хрестоматия / Под ред. И.В. Дубровиной, А.М. Прихожан, В.В. Зацепина. – М.: Академия, 2012. – 368 с.

6. Глухова О.Ю. Система нестандартных задач по математике, приемы и методы решения [Электронный ресурс] - Режим доступа // http://sibac.info

7. Нестандартные задачи в начальном курсе математики [Электронный ресурс] - Режим доступа // http://mousoh135.ucoz.ru

8. Плотникова Г.Ф. Активизация познавательной деятельности на уроках математики / Г.Ф. Плотников // Начальная школа. – 2013. - № 1. – С. 84.

9. Предеина В. С. Особенности развития творческой активности учащихся в психолого-педагогическом аспекте / В.С. Предеина // Молодой ученый. - 2013. - № 2. - С. 395-397.

10. Шикова Р.Н. Организация самостоятельной деятельности учащихся на уроках математики / Р.Н. Шикова // Начальная школа. – 2012. - № 2 – С. 24 – 32.

11. Ванцян, А.Г. Эти непростые "простые задачки" / А.Г. Ванцян // Практика образования.– 2007.– № 3.– C. 20-22.

12. Математика. 5 класс. Учебник / Мирзаахмедов, Рахимкариев

13. http://ziyonet.uz

14. http://uzedu.uz

16