Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве
КЭИФ I курс
Преподаватели:
Князева Светлана Евгеньевна
Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели.
Лейбниц
Взаимное расположение прямых в пространстве
Основными фигурами в пространстве являются точки, прямые и плоскости
В
А
С
а
b
I
а
II
В
С
а
Способы задания прямой в пространстве
b
l
a
p
π
β
γ
I
II
Три случая взаимного расположения прямых в пространстве
c
b
III
4
b
a
α
β
Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.
5
скрещивающиеся
параллельные
пересекающиеся
равные
а и b
Лежат
ли в одной
плоскости?
Нет
Да
Имеют
хотя бы одну
общую
точку?
Да
Нет
Имеют
более одной
общей
точки?
Нет
Да
6
Ненулевой вектор р называется направляющим вектором прямой l , если он либо лежит на этой прямой, либо на прямой, параллельной l .
а
р
р
7
Пусть даны две прямые l 1 и l 2 и со своими направляющими векторами р 1 и р 2 соответственно.
1
l 1
р 1
р 2
l 2
8
Пусть даны две прямые l 1 и l 2 и со своими направляющими векторами р 1 и р 2 соответственно.
2
р 2
l 2
l 1
р 1
9
?
Вопрос:
Какое условие
для векторов
р 1 и р 2
выполняется?
?
10
Ответ:
10
Угол между прямыми l 1 и l 2 равен углу между направляющими векторами р 1 и р 2 .
3
l 1
l 2
р 2
р 1
10
Пример 1
Вектора р 1 и р 2 – направляющие для прямых l 1 и l 2 .
Выясните взаимное расположение прямых l 1 и l 2 , если
13
Решение.
Найдем координаты векторов р 1 и р 2 :
р 1 = 2· a-2 ·b=2 ·(3;-6;1)-2 ·(1;5;4)=(4;-22;-6)
р 2 = a+3 ·b=(3;-6;1)+3 ·(1;5;4)=(6;9;13)
14
Уравнение
Называется каноническим уравнением прямой, проходящей через точку А(а;b;с), параллельно вектору р(m;n;k)
l
р(m;n;k)
A(a;b;c)
15
Пример 2
Прямые l 1 и l 2 заданы своими каноническими уравнениями
При каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 перпендикулярны? Постройте эти прямые.
16
Решение.
А(a;b;c) Є l ,
р (m;n;k) - направляющий вектор
проходит через точку А 1 (3;-2;0)
параллельно направляющему вектору р 1 (1;2;k)
16
А(a;b;c) Є l ,
р (m;n;k) - направляющий вектор
проходит через точку А 2 (-4;-2;0)
параллельно направляющему вектору р 2 (4;-7;5)
Найдем, при каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 перпендикулярны.
18
р 1 (1;2;k)
р 2 (4;-7;5)
Итак, прямые
и
перпендикулярны. Построим их.
19
Строим прямую l 1 – она проходит через точку А 1 (3;-2;0) параллельно вектору р 1 (1;2;2). Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:
z
O
y
А 1
x
20
Вторым шагом строим направляющий вектор р 1 (1;2;2):
z
р 1
y
O
А 1
x
21
Третьим шагом проводим через точку А 1 прямую параллельно вектору р 1 :
22
Строим прямую l 2 – она проходит через точку А 2 (-4;-2;0) параллельно вектору р 2 (4;-7;5) . Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:
z
А 2
O
y
x
23
Вторым шагом строим направляющий вектор р 2 (4;-7;5):
z
А 2
р 2
y
O
x
24
Третьим шагом проводим через точку А 2 прямую параллельно вектору р 2 :
z
А 2
р 2
y
O
x
25
Пример 3
Прямые l 1 и l 2 заданы своими каноническими уравнениями
При каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 параллельны? Постройте эти прямые.
26
Решение.
А(a;b;c) Є l ,
р (m;n;k) - направляющий вектор
проходит через точку А 1 (-2;3;-5)
параллельно направляющему вектору р 1 (-1;-3;k)
26
А(a;b;c) Є l ,
р (m;n;k) - направляющий вектор
проходит через точку А 2 (5;-1;4)
параллельно направляющему вектору р 2 (-2;-6;6)
Найдем, при каком значении параметра k прямые l 1 и l 2 параллельны.
28
?
Вопрос:
?
Какое условие
для векторов
р 1 и р 2
выполняется?
29
Если векторы р 1 (m 1 ;n 1 ;k 1 ) и р 2 (m 2 ;n 2 ;k 2 ) коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны, т.е.
р 1 (-1;-3;k)
р 2 (-2;-6;6)
Итак, прямые
и
параллельны. Построим эти прямые.
29
Строим прямую l 1 – она проходит через точку А 1 (-2;3;-5) параллельно вектору р 1 (-1;-3;3). Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:
31
Вторым шагом строим направляющий вектор р 1 (-1;-3;3):
32
Третьим шагом проводим через точку А 1 прямую параллельно вектору р 1 :
33
Строим прямую l 2 – она проходит через точку А 2 (5;-1;4) параллельно вектору р 2 (-2;-6;6). Первым шагом строим точку, через которую проходит эта прямая:
34
Вторым шагом строим направляющий вектор р 2 (-2;-6;6):
35
Третьим шагом проводим через точку А 2 прямую параллельно вектору р 2 :
36