Взаимное расположение прямой и окружности

Взаимное расположение прямой и окружности

Общие сведения об окружности

В О – центр окружности (точка, равноудаленная от

К всех точек окружности)

R = ОА - радиус окружности (отрезок,

О А соединяющий центр окружности с любой

ее точкой)

М КМ – хорда (отрезок, соединяющий две точки

С окружности)

d = СВ – диаметр (хорда, проходящая через центр окружности)

Свойства окружности:

1. Все радиусы одной окружности равны.

2. Диаметр окружности в два раза больше ее радиуса.

3. Центр окружности является серединой диаметра.

4. Радиус равен половине диаметра.

d = 2R R= d/2

Взаимное расположение прямой и окружности

d – расстояние от прямой до окружности

r – радиус окружности

Касательная к окружности

• Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Прямая р – касательная к окружности

Точка Н – точка касания

• Свойство касательной к окружности: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

р – касательная

ОН – радиус, проведенный в точку касания р ┴ ОН

• Свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки: Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

С Дано:

АС, АВ - касательные

:

АС = АВ

∠САО =∠ВАО

В

• Признак касательной:

р Если прямая проходит через конец радиуса,

Н лежащий на окружности, и перпендикулярна к

этому радиусу, то она является касательной.

Н р

р ┴ ОН р – касательная

Градусная мера дуги окружности

L Дуга – часть окружности.

В B

А

A

M

Дуга называется полуокружностью, если отрезок, соединяющий ее концы, является диаметром окружности.

Центральный угол – угол с вершиной в центре окружности.

∠АОВ - центральный

- длина окружности

В

А

Вписанный угол

Вписанный угол – угол, вершина которого лежит на

окружности, а стороны пересекают окружность.

∠АВС – вписанный

∠АВС опирается на АС

Теорема. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Дано:

∠АВС – вписанный

∠АВС = АС

Следствия:

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

1 ∠1 = АС

2 ∠2 = АС ∠1 = ∠2

А С

1. Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

1

А ∙ С ∠1 = АС

АС = 180 ⁰ ∠1 = 90 ⁰