Взаимодействие основного и дополнительного математического образования, как условие для развития профильной одаренности школьников»

Задания дистанционной части семинара по теме: «Взаимодействие основного и дополнительного математического образования, как условие для развития профильной одаренности школьников»

Задание №1. Рабочий листочек для учащихся.

Теорема Наполеона: Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний (внешний треугольник Наполеона).

Вторая теорема Наполеона: Центры правильных треугольников, построенных вовнутрь на сторонах произвольного треугольника, образуют правильный треугольник (внутренний треугольник Наполеона).

Теорема Тебо: Если на сторонах параллелограмма построить вовне квадраты, то их центры образуют квадрат.

1. Задача Наполеона: Одно из 7 чудес света - египетские пирамиды. Самая знаменитая из них - пирамида Хеопса высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 233м. Если из каменных блоков пирамиды возвести стену толщиной 20 см вокруг Франции, то какова будет высота этой стены? (справка: общая длина границ Франции 5000км).

2. Стороны треугольника разделили на 3 равные части и на средних частях во внешнюю область построили равносторонние треугольники. Докажите, что вершины этих треугольников, не лежащие на сторонах данного треугольника, являются вершинами нового равностороннего треугольника.

3. Стороны неравностороннего треугольника разделили на 3 равные части и на средних частях во внешнюю область построили равносторонние треугольники. Докажите, что вершины этих треугольников, не лежащие на сторонах данного треугольника, являются вершинами нового равностороннего треугольника.

4. Пользуясь только циркулем, удвойте данный отрезок.

5. Пользуясь только циркулем, разделите данный отрезок пополам.

6. Разделите окружность с заданным центром на 4 равные части, пользуясь только циркулем (без линейки).

7. Если из каменных блоков пирамиды Хеопса высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 233м, возвести стену толщиной 20 см вокруг Республики Башкортостан, то какова будет высота этой стены?

8. Если из каменных блоков пирамиды Хеопса высотой 147м, в основании которой квадрат со стороной 233м, возвести стену толщиной 20 см вокруг Уфы, то какова будет высота этой стены?

9. Задача о равных треугольниках при искомой точке: В треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A, B и C будет минимальна.

10. Задача о квадрате, вписанном в окружность: необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром.

1. На боковых сторонах трапеции ABCD построены треугольники ABE и CDF так, что AE || CF и BE || DF. Докажите, что если E лежит на стороне CD, то F лежит на стороне AB.

2. (З. Насыров) (задачник ”Кванта” 1992 г.) Круг поделили xордой AB на два круговых сегмента и один из ниx повернули вокруг точки A на некоторый угол. Пусть при этом повороте точка B перешла в точку D. Докажите, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу.

3. (А. Заславский) (Геометрическая олимпиада им. И. Ф. Шарыгина) На описанной окружности треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1 так,что AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. При отражении A1, B1,C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно получаются точки A2,B2, C2. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны

4. Через вершину A треугольника ABC проведены прямые l1 и l2, симметричные относительно биссектрисы угла A. Докажите, что проекции точек B и C на l1 и l2 соответственно, середина стороны BC и основание высоты, опущенной из вершины A, лежат на одной окружности.