Wprowadzenie do r?wna? diofantycznych liniowych z dwiema niewiadomymi

Wprowadzenie do teorii diofantycznych równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Zbigniew Stebel

Równanie postaci , gdzie stałe, niewiadome.

Rozwiążmy równanie postaci

Szukamy rozwiązania szczegółowego

.

Rozpatrzmy równanie postaci

1. Jeśli nie jest podzielne przez to równanie rozwiązań nie posiada.

2. Jeśli to podzielmy obustronnie równanie przez , otrzymamy wówczas równanie postaci .

Niech będą rozwiązaniami szczegółowymi ostatniego równania, czyli .

Odejmując stronami równania otrzymujemy: , stąd mamy

.

Zatem .

Pokazaliśmy, że rozwiązaniem ogólnym równania diofantycznego z dwiema niewiadomymi jest układ równań postaci

. gdzie

Przykład 1.

Równanie postaci , ma rozwiązanie gdyż .

Ponieważ , więc jest rozwiązaniem szczegółowym tego równania. Korzystając z (1) otrzymujemy rozwiązanie ogólne

.

Sprawdzenie:

.

Przykład 2.

Równanie nie ma rozwiązań, gdyż nie jest podzielne przez .

Przykład 3.

Równanie postaci , ma rozwiązanie gdyż .

=.

Niech .

Niech teraz .

Podstawiając wyznaczoną wartość do otrzymujemy

.

Podstawiając teraz do wyznaczone otrzymujemy

Zamieniając dla uproszczenia zmienną otrzymujemy rozwiązanie ogólne

, gdzie .

Sprawdzenie:

.

Zadanie

Rozwiąż równanie diofantyczne dwoma sposobami.