Задачи и формулы неравенство Коши

Собраны задачи и формулы

Задача 1. Докажите, что а) арифметическое, б) геометрическое, в) гармоническое, г) квадратичное, д) степенное средние n чисел заключены между наименьшим и наибольшим из них.

Задача 2. Докажите, что геометрическое среднее любых двух неотрицательных чисел не превосходит их арифметическое среднее. В каком случае достигается равенство?

Задача 3. Докажите, что геометрическое среднее любых четырёх неотрицательных чисел не превосходит их арифметическое среднее. В каком случае достигается равенство?

Задача 4*. Докажите, что геометрическое среднее любых трёх неотрицательных чисел не превосходит их арифметическое среднее. В каком случае достигается равенство?