Задачи на делимость

Задачи на делимость.

1. Коля и Петя купили одинаковые беговые лыжи. Сколько стоит одна пара лыж, если Петя уплатил стоимость лыж трехрублевыми билетами, Коля – пятирублевыми, а всего они дали в кассу меньше 10 кредитных билетов?

2. Сколько имеется четырехзначных чисел, которые делятся на 45, а две средние цифры у них 97?

3. К числу 15 припишите слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15.

4. Найти последнюю цифру следующих чисел:

   a) ;	b) ;	c) ;
   d) ;	e) .

5. Доказать, что если каждое из чисел m и n делится на число p, то сумма m + n делится на p.

6. Доказать, что если число m делится на число p, а число n делится на число q, то произведение mn делится на произведение pq.

7. Доказать, что произведение двух последовательных чисел делится на два.

8. Доказать, что число тогда и только тогда делится на 99, когда число делится на 99.

9. Доказать, что число тогда и только тогда делится на 101, когда число .

10. Доказать, что разность делится на 10.

11. Доказать, что число целое.

12. Какой цифрой оканчивается число ?

13. Сколькими нулями оканчивается произведение ?

14. Доказать, что из любых пяти целых чисел можно найти три числа, сумма которых делится на 3.

15. Доказать, что если простое число и , то делится на 24.

16. Найти НОД (наибольший общий делитель) и НОК (наименьшее общее кратное) чисел:

    1. 308 и 264;

    2. 144, 420 и 252;

    3. , и .

17. Доказать, что .

18. Доказать, что .

19. Найти НОД чисел и .