Задачи на движение по замкнутой трассе (задание № 11 ЕГЭ, профильный уровень)

Задачи на движение по замкнутой трассе

Движение по замкнутой трассе (например, по стадиону) похоже на движение вдогонку. Если два бегуна начинают двигаться по окружности одновременно с разными скоростями, соответственно и , то первый бегун приближается ко второму бегуну со скоростью ( ), и в момент, когда первый бегун догоняет второго бегуна, первый бегун как раз проходит на один круг больше второго. И поэтому время считается так же, как и в случае прямолинейного движения вдогонку:

Задача 1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 16 км, в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережает второй автомобиль ровно на один круг. Найдите скорость второго автомобиля.

Р

80 км/ч

х км/ч

А

В

Пусть автомобили начали своё движение одновременно из точки А. Примем скорость второго автомобиля за х км/ч и учтём, что 40 минут составляют часа, тогда:

Первый автомобиль догнал второго в точке В, опередив его на целый круг, следовательно, расстояние, пройденное им, больше расстояния второго автомобиля на 16 км. Отсюда уравнение:

Значит, 56 км/ч – скорость второго автомобиля.

Ответ: 56.

Примечание. Величину S в таблице поставили на последнее место, так как именно она использовалась при составлении уравнения.

З адача 2. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 19 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 15 км/ч больше скорости другого?

Решение. Пусть х км/ч – скорость второго мотоциклиста, тогда
(х + 15) км/ч – скорость первого мотоциклиста. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через  t часов.

Так как первый мотоциклист опередил второго на половину круга, его расстояние больше расстояния второго мотоциклиста на

Отсюда уравнение:

Значит, через мотоциклисты поравняются в первый раз.

Ответ: 38.

Задача 3. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 22 круга по кольцевой трассе протяженностью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 11 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщица, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 10 минут? Ответ дайте в км/ч.

Решение. Пусть х км/ч и у км/ч – скорости первого и второго гонщиков соответственно. Очевидно, что для решения задачи потребуется составление системы уравнений с двумя неизвестными.

Составим первое уравнение системы, используя то факт, что первый гонщик в первый раз обогнал второго гонщика на круг через 10 минут. Переведём минуты в часы:

10 минут =

Второе уравнение системы вытекает из условия, что первый гонщик преодолел 22 круга на 11 минут быстрее второго, то есть время движения второго гонщика на 11 минут больше.

11 минут = составляют 22 круга.

Получаем систему:

Значит, 72 км/ч – скорость второго гонщика.

Ответ: 72.

Задача 4. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист. Через 30 минут он еще не вернулся в пункт А и из пункта А следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Решение.

К моменту первого обгона мотоциклист за 10 минут проехал столько же, сколько велосипедист за 40 минут, следовательно, его скорость в 4 раза больше. Поэтому, если скорость велосипедиста принять за x км/час, то скорость мотоциклиста будет равна 4x, а скорость их сближения — 3x км/час.

C другой стороны, второй раз мотоциклист догнал велосипедиста за 30 минут, за это время он проехал на 30 км больше. Следовательно, скорость их сближения составляет 60 км/час.

Итак, 3х = 60 км/час, откуда скорость велосипедиста равна 20 км/час, а скорость мотоциклиста равна 80 км/час.

Ответ: 80.

Задача 5. Часы со стрелками показывают 6 часов 45 минут. Через сколько минут минутная стрелка в пятый раз поравняется с часовой?

Решение. За одно и то же время минутная и часовая стрелки проходят разные расстояния.

На начало наблюдения минутную и часовую стрелки отделяет 9 + делений.

Например, минутная стрелка в первый раз догонит часовую, когда пройдёт 9,75 делений, и ещё то расстояние (количество делений), которое пройдет часовая стрелка до момента встречи с минутной.

Пусть х делений – путь, который проделает часовая стрелка, пока её пятый раз догоняет минутная. Тогда минутная пройдет х + 4 делений.

Время движения обеих стрелок одинаково, следовательно,

5,25 делений = 5,25 часа = 5,25 минут = 315 минут.

Ответ: 315.

Задания для самостоятельного решения.

1. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 99 кругов по кольцевой трассе протяженностью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 22 минуты. Чему равнялась средняя скорость второго гонщица, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 20 минут? Ответ дайте в км/ч. (108 км/ч)

2. (№ 99596) Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 21 км/ч больше скорости другого? (20)

3. (№ 99598) Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 14 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 80 км/ч, и через 40 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч. (59)

4. (№ 99600) Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой? (240)

5. (№ 114155) Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 44 минуты после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 33 км. Ответ дайте в км/ч. (60)