"Задачи на клетчатой бумаге (нахождение площадей многоугольников)" авт. Д.Шеенкова, рук. С.Н.Смирнова

ОТДЕЛ ОБРАЗОВАНИЯ ЛЕЖНЕВСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Лежневская средняя общеобразовательная школа №10

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА ПО ТЕМЕ:

«ЗАДАЧИ НА КЛЕТЧАТОЙ БУМАГЕ (нахождение площадей многоугольников)

Выполнена ученицей

5а класса МБОУ Лежневской СОШ №10 Шеенковой Дарьей

Руководитель

учитель математики

Смирнова Светлана Николаевна

п.Лежнево

2016 г.

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение - 2 стр.

2. Методы нахождения площади многоугольника – 3 стр.

3. Заключение - 6 стр.

4. Список литературы – 7 стр.

Введение

Математика – один из моих любимых школьных предметов. А самое сложное и одновременно самое интересное - решение задач. Задачи в учебнике и сборниках попадаются самые разные и способов решения каждой задачи можно придумать несколько. Но один вид задач, как мне кажется, не похож на другие. Это задачи на клетчатой бумаге. Они кажутся необычными, более занимательными. Может быть потому, что на клетчатой бумаге действительно придумано много игр?

Позволительно ли относиться к задачам на клетчатой бумаге несерьезно?

Я просмотрела учебник математики 5 класса и нашла несколько разных задач на сетке. Большинство из них – на нахождение и сравнение площадей многоугольников¹.

А встречаются ли такие задачи старшеклассникам? Моя учительница математики С.Н.Смирнова посоветовала мне посмотреть открытый банк заданий ОГЭ и ЕГЭ по математике, посетить сайты по подготовке выпускников 9 и 11 классов к экзаменам. Оказалось, что задачи на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге достаются на экзаменах почти каждому выпускнику².

Вывод прост: уметь решать задачи на сетке (в т.ч. на нахождение площадей) разными способами нужно уметь каждому школьнику. В этом я вижу актуальность моей работы, а ее новизну в том, что один из рассматриваемых способов решения не разбирается в школьных учебниках математики.

Целью работы является поиск, изучение и сравнение разных способов решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге (сетке).

Задачи исследования:

• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию;

• Проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке;

• Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры;

• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам;

• Разработать сравнительную таблицу способов решения и тренажер для их отработки;

• Сделать выводы по результатам работы.

Объект исследования

Многоугольники, построенные на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

Предмет исследования:

Процесс вычисления площадей многоугольников различными методами.

¹ Приложение №1 Примеры задач на сетке из учебника математики 5 класса.

² Приложение №2 Скриншоты открытых банков заданий ОГЭ и ЕГЭ, сайтов по подготовке к ГИА

Гипотеза: Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге, которые позволят легко справиться с заданиями ОГЭ и ЕГЭ по этой теме даже пятикласснику.

Методы исследования

• Изучение литературных и Интернет-ресурсов

• Анализ, сравнение, обобщение и классификация

• Эксперимент (решение задачи на время разными способами)

• Конструирование

План исследования:

• изучение литературных и Интернет-ресурсов;

• разработка сравнительной таблицы способов решения;

• создание и апробация тренажера;

• подготовка презентации проекта.

Методы нахождения площади многоугольника.

Решая задачи на уроках в классе и изучив литературу и Интернет-источники по теме, можно выделить несколько методов нахождения площади многоугольника, построенного на клетчатой бумаге так, что все его вершины находятся в узлах пересечения клеток. Проблема заключается в том, чтобы в каждом случае выбрать наиболее подходящий, т.е. менее трудоемкий и более быстрый способ. Так появилась идея сравнить найденные способы по ряду критериев и создать сравнительную таблицу.

1. Метод подсчета единичных клеток:

Он основан на свойстве, что площадь фигуры равна сумме площадей ее частей. Такой метод доступен даже первокласснику. Но он подходит только для фигур, построенных из целых клеток или их половинок (2 половинки = 1 целая клетка).

Для многоугольников, стороны которых не проходят по клеткам, этот способ применить вряд ли получится.

Рис.1

2. Метод применения формул площадей.

В пятом классе нам знакомы формулы нахождения площади следующих многоугольников: квадрата, прямоугольника и треугольника. Если заданный многоугольник является одним из изученных, то нахождение площади сводится к нахождению нужных длин по клеточкам и выполнению расчетов по готовой формуле (рис.2):

S1 = a b = 7*3=21 кв.ед.;

S2=1/2 (ab)= ½ (2*5)=5 кв.ед.;

S2=1/2 (ah)= ½ (4*5)=10 кв.ед.;

Рис.3

Способ очень удобный, но он не всегда применим. На самом деле, даже для прямоугольника найти площадь будет сложно, если невозможно определить длины нужных отрезков или данный многоугольник незнаком (рис.3) и формул площади не знаешь или забыл.

3. Метод разбиения на части.

Рис.4.

Фигура разбивается с помощью вертикальных и горизонтальных отрезков так, чтобы многоугольник полностью (без отверстий и наложений) заполняли получившиеся при разбиении прямоугольники и прямоугольные треугольники (Рис.4.). Сумма всех площадей фигур, полученных в результате такого разбиения равна площади данного многоугольника.

Рис.5.

Способ подходит для любых многоугольников, но он достаточно трудоемкий, и при работе нужно быть внимательным и не допускать вычислительных ошибок.

4. Метод достраивания до прямоугольника

Вокруг данного многоугольника строится прямоугольник (Рис.5). Чтобы решить задачу, нужно из площади этого прямоугольника вычесть сумму площадей всех дополнительных фигур и получается площадь заданного многоугольника. Как и способ разбиения на части этот метод подходит для любого многоугольника, но он трудоемкий.

5. Формула Пика

Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика³. Так как про этот метод ничего не написано в учебнике, нужно рассмотреть его поподробнее.

Рис.6

Формула Пика:

Г=20 (точки на границе), В=27 (точки внутри)

S=В+Г/2-1=27+10-1=36

Попробуем посчитать площадь одного и того же многоугольника двумя разными способами, отмечая при этом затраченное на решение время:

Метод вычитания

S1=(4*5)/2=10

S2=2*3=6

S3=(2*1)/2=1

S4=(9*3)/2=13,5

S5=(6*4)/2=12

Sпрямоугольника=9*7=63

S=63-(10+6+1+13,5+12)=20,5

На решение задачи этим способом ушло 5 минут 20 секунд.

Формула Пика

Г=7

В=18

S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5

На решение задачи этим способом ушло 1 минута 42 секунды.

³ Приложение №3. Биографические данные о Г.Пике

Вот такие методы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке удалось найти. Они все несложные, но при решении конкретной задачи важно выбрать наиболее подходящий. Все пять способов были сравнены по следующим параметрам:

когда удобно применить,

каков алгоритм действий,

недостатки и преимущества метода.

Результаты помещены в сравнительную таблицу⁴ и дополнительно в нее включены иллюстрации.

Поскольку формула Пика в учебниках не рассматривается, попрактиковаться в ее применении можно на разработанном тренажере⁵, на котором можно при помощи сетки найти площади предлагаемых многоугольников и проверить правильность решения.

Заключение

Нахождение площади многоугольника может стать очень интересным и познавательным занятием, совсем не сложным и трудоемким, как кажется на первый взгляд.

Поработав с материалом и подготовив его к применению на практике, я сделала следующие выводы:

1. Существуют различные методы нахождения площади многоугольника.

2. Обычный лист бумаги в клетку может выполнять роль инструмента для вычисления площади многоугольника, если этот многоугольник на нем изображен.

3. Формула Пика - самый универсальный метод решения задач данного типа. С помощью формулы Пика можно найти площадь любого многоугольника, построенного на клетчатой бумаге с вершинами в узлах клеток.

4. Проведенная работа и полученные в результате ее выполнения сравнительная таблица⁴ и тренажер по отработке способа решения задач по формуле Пика дадут школьникам возможность решения задач на нахождение площадей на сетке наиболее простым способом. Эти знания можно применить на уроках математики, для выполнения олимпиадных заданий. А еще эти материалы могут пригодиться выпускникам девятых и одиннадцатых классов при подготовке к экзаменам.

⁴ Приложение №4. Сравнительная таблица способов решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке.

⁵ Приложение №5. Фотоприложения.

Список литературы:

1. Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5 класс. М., МНЕМОЗИНА, 2013

2. Смирнов В.А, Смирнова И.М. Геометрия на клетчатой бумаге. М., МЦНМО, 2009

Список интернет-ресурсов:

1. http://hijos.ru/2011/09/14/formula-pika/ сайт «Математика, которая мне нравится»

2. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D4%EE%F0%EC%F3%EB%E0_%CF%E8%EA%E0 свободная энциклопедия «Википедия»

9

Задачи на клетчатой бумаге

(нахождение площадей многоугольников)

Автор проекта: Шеенкова Дарья, 5а класс

Руководитель проекта: Смирнова С.Н.

Сравнить площади закрашенных фигур

№ 195

№ 197

Найти площадь фигуры

Закрасить 3/8 фигуры

№ 598

Сравните периметры и площади закрашенных фигур

http://mathege.ru/or/ege/ShowProblems?offset=6&posMask=4

Вывод:

уметь решать задачи на клетчатой бумаге (в т.ч. на нахождение площадей) разными способами нужно уметь каждому школьнику.

Цель исследования:

Поиск, классификация, сравнение разных способов решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге (сетке).

Задачи исследования:

• Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию;
• Проанализировать и систематизировать различные методы и приёмы решения задач на нахождение площадей многоугольников на сетке;
• Подобрать наиболее интересные, наглядные примеры;
• Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам;
• Разработать сравнительную таблицу и тренажер для отработки способа решения;
• Сделать выводы по результатам работы.

Гипотеза:

Существуют простые способы решения задач на нахождение площадей многоугольников на клетчатой бумаге, которые позволят легко справится с заданиями ОГЭ и ЕГЭ по этой теме даже пятикласснику.

Методы исследования:

• Изучение литературных и Интернет-ресурсов
• Анализ, сравнение, обобщение и классификация
• Эксперимент (решение задач на время разными способами)
• Конструирование

1. Способ подсчета клеток

Площадь многоугольника равна сумме единичных квадратов

На рисунке:

S1 =10 кв.ед.;

S2=10 кв.ед.;

S3= 7 кв.ед.;

S4=8 кв.ед.;

S5=12 кв.ед.;

S6=4 кв.ед.;

S7=8 кв.ед.;

S8=12 кв.ед.

Способ подсчета клеток

Применяется:

Алгоритм:

Многоугольник «составлен» из целых клеток или половинок клеток

Преимущества:

• Посчитать клетки

Недостатки:

(2 половинки=1 целой клетке)

простой

Ограничен в применении

2. Записать ответ

2. Применение формул площадей известных фигур

S1 = a b = 7*3=21 кв.ед.;

S2=1/2 ( ab )= ½ (2*5)=5 кв.ед.;

S2=1/2 ( ah )= ½ (4*5)=10 кв.ед.;

Способ применения формул

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки по известным формулам в случае, если необходимые величины явно видны

Алгоритм:

Преимущества:

• Определить длины необходимых величин;
• Подставить в известную формулу;
• Записать ответ

простой

Недостатки:

Ограничен в применении (формулы известны не для всех фигур; длины необходимых в формулах величин сложно посчитать)

b

a

b

h

a

a

2. Применение формул площадей известных фигур

S1 = a b = ?*?=? кв.ед.;

S2=1/2 ( ab )= ½ (?*?)=? кв.ед.;

S2= ?

Способ применения формул

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки по известным формулам в случае, если необходимые величины явно видны

Алгоритм:

• Определить длины необходимых величин;
• Подставить в известную формулу;
• Записать ответ

Преимущества:

простой

Недостатки:

Ограничен в применении (формулы известны не для всех фигур; длины необходимых в формулах величин сложно посчитать)

b

b

a

a

3. Разбиение на части

S= S Δ + S  + SΔ + S  + SΔ

Способ разбиения на части

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади

Алгоритм:

• Разбить многоугольник на известные фигуры;
• Найти площадь каждой части (способ №1 или №2);
• Найти сумму площадей
• Записать ответ

Преимущества:

Подходит для произвольного многоугольника

Недостатки:

Трудоемкий

S Δ= 1/2*2*7=7 кв.ед.

S  =2*7=14 кв.ед.

S=7+14+3+6+1=31

S Δ =1/2*2*3=3 кв.ед.

S  =2*3=6 кв.ед.

S Δ =1/2*2*1=1 кв.ед.

4. Достраивание до прямоугольника (метод вычитания)

S= S  - S Δ - SΔ - SΔ

Способ достраивания до прямоугольника

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки, у которых неизвестны формулы нахождения площади

Алгоритм:

• Достроить фигуру до прямоугольника;
• Найти площадь дополняющих фигур(способ №1 или №2);
• Найти площадь прямоугольника
• Вычесть из площади прямоугольника площади дополняющих фигур
• Записать ответ

Преимущест-ва:

Подходит для произвольного многоугольника

Недостатки:

Трудоемкий

S  = 6*7=42 кв.ед.

S Δ= 1/2*2*7=7 кв.ед.

S=42-7-3-1=31

S Δ =1/2*2*3=3 кв.ед.

S Δ =1/2*2*1=1кв.ед.

S= В+ Г/2 – 1

В – количество внутренних узлов,

Г – количество граничных узлов.

5. По формуле Пика

По формуле Пика

Применяется:

Для нахождения площадей многоугольников с вершинами в узлах решетки

Алгоритм:

Преимущества:

• Посчитать количество внутренних узлов (В);
• Посчитать количество граничных узлов (Г);
• Посчитать площадь фигуры по формуле Пика
• Записать ответ

Универсальный

Недостатки:

-

S= 26+ 12/2 – 1 = 31 кв.ед.

ЭКСПЕРИМЕНТ

Метод вычитания

S1=(4*5)/2=10

S2=2*3=6

S3=(2*1)/2=1

S4=(9*3)/2=13,5

S5=(6*4)/2=12

Sпрямоугольника=9*7=63

S=63-(10+6+1+13,5+12)=20,5

На решение задачи этим способом ушло 5 минут 20 секунд.

Формула Пика

Г=7

В=18

S=В+Г/2-1=18+3,5-1=20,5

На решение задачи этим способом ушло 1 минута 42 секунды.

Результаты работы:

Использование

результатов:

Перспективы:

1. Сравнительная таблица методов нахождения площадей многоугольников на сетке;

2. Тренажер для нахождения площадей по формуле Пика.

1. На уроках математики;

2. В решении олимпиадных задач;

3. При подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Создание электронного

тренажера по применению формулы Пика

Спасибо за внимание!