Задачи на комбинаторику

Работу выполнила

учитель математики ГБОУ «Академическая гимназия №56»

Корованенко Н.К.

2020 год

ГЛ = К

КОМБ

ИНАТОР

ИКА

Комбинаторика – это раздел математики, изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов ,посвященный решению задач на перебор различных вариантов, удовлетворяющих каким-либо условиям.

Обычный вопрос в комбинаторных задачах сколькими способами, сколько различных комбинаций , подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Латинское слово combinare означает «соединять, сочетать».

К комбинаторным задачам относятся :

• задачи расшифровки и кодирования,
• с развлекательными играми.
• задачи и построение магических квадратов,

Комбинаторика - связана с теорией азартных игр.

Комбинаторика –связана с именами французов:

Блеза Паскаля (1623-1662) и

Пьера Ферма (1601-1665).

Комбинаторика

• В 20-21веке комбинаторика связана с развитием кибернетики.
• в биологии комбинаторика- служит для подсчета структур ДНК и РНК;
• в физике комбинаторика - для описания свойств кристаллов;
• В генной инженерии - для создания искусственного интеллекта.

Основные правила комбинаторики

1 . Правило суммы

А - m способов

В - n способов

( А или В ) – ( m+n )способов

2 . Правило произведения

А – m способов

В – n способов

( А и B ) – ( m*n ) способов

M+

Три различные способа решения задачи

1. Способ перебора ;

2.Дерево возможных вари антов;

3.Использование формулы .

Сколько различных 2-значных чисел можно составить используя цифры 1,4,7 (цифры могут повторяться) ?

1способ – способ перебора 11 41 71

14 44 74

17 47 77

Ответ: 9 чисел.

Три способа решения задач

2. дерево возможных вариантов

3.Используем формулу произведения

Двузначное число 3*3=9способов .

Задача. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 4, если цифры в записи числа не повторяются ?

Первая цифра 2 4

Вторая цифра 0 4 0 2

Третья цифра 4 0 2 0

Решение: 2 0 4 , 2 4 0 , 4 0 2 , 4 2 0 – 4 числа

Задача . Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 4, 5, 7?

10

12

20

14

22

40

24

42

50

44

52

70

72

54

74

0

2

4

1

2

4

5

7

Решение:

Первые цифры искомых чисел: 1, 2, 4, 5, 7, второй цифрой искомых чисел могут быть: 0, 2. 4.

5 · 3 = 15 двузначных чисел

Задача В школьной столовой на завтрак любой ученик может выбрать булочку, ватрушку или пирожок, а запить их можно соком или чаем. Сколько вариантов завтрака предлагается в школьной столовой?

Булочка (Б)

Ватрушка (В)

Пирожок (П)

СБ

СВ

ЧБ

СП

ЧВ

ЧП

Сок (С)

Чай (Ч)

Решение: 3 · 2 = 6 вариантов завтрака

Задача.

« На завтрак Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить их он может кофе, соком или кефиром. Из скольких вариантов завтрака Вова может выбрать?»

Решение

Плюшка

Кофе

Бутерброд

Сок

Пряник

Кефир

Кекс

12 вариантов!

Задача. У Тани есть розовая , желтая , красная кофта и черная, зеленая , синяя юбки. Сколько различных нарядов можно составить из них?

Р - розовая кофта

Ж - желтая кофта

К- красная кофта

Ч – черная юбка

З – зеленая юбка

С – синяя юбка

К

Р

Ж

С

С

З

Ч

З

Ч

З

С

Ч

Решение: Р Ч, Р З , Р С ; Ж Ч, Ж З , Ж С ; К Ч, К З , К С .

3 · 3 = 9 (нарядов)

Ответ: 9.

Задача. Государственные флаги некоторых стран состоят из трех горизонтальных полос разного цвета. Сколько существует различных вариантов флагов с белой, синей и красной полосой?

Решение: 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6 вариантов

14

Задачи:

1 . Мастер должен обшить 12 стульев обшивкой красного, коричневого и зеленого цвета. Сколькими способами он может это сделать?

Ответ: 12 ∙ 3 = 36

2 . Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «правило»?

Ответ: 3 ∙ 4 = 12

3. На первой полке стоит 5 книг, а на второй 10. Сколькими способами можно выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй?

Ответ: 5 ∙ 10 = 50

4. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

Ответ: 9 ∙ 10 ∙ 10 = 900

Правило умножения:

Если объект a можно выбрать m способами, а объект b можно выбрать k способами, то выбор пары ( a , b ) можно осуществить

m · k способами.

Спасибо за внимание