Задачи на оптимальный выбор: геометрическая интерпретация (задание № 16, ЕГЭ по математике)

Задание 17 ЕГЭ по математике (профиль). Задачи на оптимальный выбор: геометрическая интерпретация

Задача 1.

Буровая вышка расположена в поле в 9 км от ближайшей точки шоссе. С буровой надо направить курьера в пункт, расположенный по шоссе в 15 км от упомянутой точки (считаем шоссе прямолинейным). Скорость курьера на велосипеде по полю 8 км/ч, а по шоссе 10 км/ч. К какой точке шоссе ему надо ехать, чтобы в кратчайшее время достичь пункта?

Решение:

С

В

С

К

Р

а

В – буровая вышка

S₁

S₂

а – шоссе

* ВКР – маршрут следования

Путь курьера: ВК + КР = S₁ + S₂.

По условию ВС = 9 км, СР = 15 км. Пусть СК = х км, тогда S₂ = КР = 15 – х.

Из прямоугольного треугольника ВСК по теореме Пифагора:

S₁ = ВК =

 Путь S₁ (по полю) курьер проходит со скоростью v = 8 км/ч, а путь S₂ (по шоссе) – со скоростью v = 10 км/ч. Значит, курьер проезжает на велосипеде по полю  путь S₁ за время t₁ = , а на велосипеде по шоссе путь S₂ за время t₂ =

Тогда время, затраченное на путь S₁ и S₂:  t(x) = 

По условию задачи ищем наименьшее значение  функции на отрезке [0;15].

 [0; 15]

 [0; 15]

t(0) = 

t(12) = 

t(15) = 

t_наим = 2,175. Значит, курьеру надо ехать в точку, удаленную от точки С на расстояние 12 км и от пункта на расстояние 3 км.

Ответ: В точку, удаленную на 3 км от населенного пункта и на 12 км от точки шоссе, ближайшей к буровой вышке.

Задача 2 (№ 511234)

Два велосипедиста равномерно движутся по взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку этих дорог. Один из них движется со скоростью 40 км/ч и находится на расстоянии 5 км от перекрестка, второй движется со скоростью 30 км/ч и находится на расстоянии 3 км от перекрестка. Через сколько минут расстояние между велосипедистами станет наименьшим? Каково будет это наименьшее расстояние?

Р ешение:

А

О

В

40 км/ч

30 км/ч

Пусть t ч – время, прошедшее с начального момента времени. По условию АО = 5 км, ВО = 3 км.

АВ – расстояние между велосипедистами.

Из прямоугольного треугольник АОВ по теореме Пифагора:

АВ² = ОА² + ОВ²

У квадратичной функции, стоящей под корнем, есть наименьшее значение, которое достигается при

.

Ответ: через 6,96 мин; 0,6 км.

Задача 3. (№ 511887)

Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

Решение:

Пусть х км – расстояние, пройденное Алексеем, после того как за ним следом выбежала Жучка (II часть прогулки Алексея).

Из уравнения выразим х.

Подставим полученное выражение для переменной х в функцию:

+ +

-6 6

точка минимума.

Ответ: 6 км/ч; 4 ч 10 мин.