Задачи на построение. 7 класс

Цели урока:

Рассмотреть основные (простейшие) задачи на построение:

• отложить отрезок, равный данному;

• построить середину  отрезка;
• построить прямую, перпендикулярную к данной прямой.

Тест по теме «Окружность» Выберите правильный вариант ответа.

1. Окружностью называется геометрическая фигура, которая

а) состоит из точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки плоскости;

б) состоит из всех точек плоскости, расположенных на данном расстоянии от данной точки плоскости.

2. Центром окружности является

а) точка, от которой одинаково удалены некоторые точки;

б) точка, от которой одинаково удалены все точки окружности.

а

нет

б

да

а

нет

б

да

Тест ( продолжение)

3. Радиусом окружности называется

а) отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром;

б) отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром окружности.

4. Хордой окружности называется

а) отрезок, соединяющий две любые точки окружности;

б) отрезок, соединяющий две любые точки.

а

нет

б

да

а

да

б

нет

Тест(продолжение )

5. Диаметром окружности называется

а) прямая, проходящая через центр окружности;

б) хорда, проходящая через центр окружности.

Оцени себя.

Если у тебя 5 верных ответов – оценка 5;

4 верных ответа -- оценка 4;

3 верных ответа -- оценка 3.

Меньшее число верных ответов оценивается 2.

а

б

нет

да

Постановка проблемы урока Прочитайте задачи: Задача №1: Дан отрезок АВ. От произвольного луча отложить отрезок ОD, равный АВ. Задача №2. Дана прямая МК и точка А, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку А и перпендикулярную к прямой МК. (решите эти задачи, используя любые способы)

А теперь попробуйте выполнить эти же построения с помощью циркуля и линейки без делений.

I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I IIII I

Задачи на построение это такие задачи, при

решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую условию задачи с помощью циркуля и линейки без делений.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Историческое введение.

Первые  задачи   на   построение  возникли в глубокой древности. Возникли они из хозяйственных потребностей человека.

Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие  задачи   на построение, связанные с их профессией.

К  задачам   на   построение  прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и его наибольшей вместимости.  

Задачи   на   построение  помогали людям в их хозяйственной жизни, их решения формулировались в виде " практических  правил", исходя из наглядных соображений. Именно эти  задачи  и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.

Особенно сильно  задачи   на   построение  интересовали Платона, основателя знаменитой "Академии" в Афинах.

Платон и его ученики считали  построение геометрическим, если оно выполнялось при помощи циркуля и линейки, т. е. путем проведения окружностей и прямых линий. Если же в процессе  построения использовались другие чертежные инструменты, то  построение  не считалось геометрическим. Древние греки вслед за Платоном стремились к геометрическим  построениям  и считали их идеалом в геометрии.

ПЛАТОН

Этапы решения задач на построение:

• Анализ (чертят рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами).
• Построение (по намеченному плану выполняют построение циркулем и линейкой).
• Доказательство (нужно доказать,что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи).
• Исследование (нужно исследовать при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько).

В 7 классе мы с вами решаем самые простые задачи на построение, поэтому иногда достаточно только второго пункта схемы ( или второго и третьего).

Вернемся к задаче №1: Дан отрезок АВ. От произвольного луча отложить отрезок ОD, равный АВ.

Дано :

отрезок АВ,

луч ОС

Построить :

отрезок О D ,

OD=AB .

A

B

C

O

D

О

А

В

C

Шаг 1. Построить окружность с центром О радиусом АВ.

Шаг 2. Обозначим точку пересечения окружности и луча ОС буквой D .

О D – искомый отрезок.

О

D

В

A

Что называется серединным перпендикуляром?

Вернемся к задаче №2: Дана прямая а и точка М, не лежащая на ней. Постройте прямую, проходящую через точку М и перпендикулярную к прямой а .

М

Дано : прямая a ,

Построить :

РМ а

М a

a

Шаг 1. Поместите ножку циркуля в точку М. Постройте окружность с центром в точке М, пересекающую прямую а (в точках А и В)

Шаг 2. Из точек А и В тем же радиусом проведите окружности, пересекающиеся в точках М и N .

Шаг 3. Проведите прямую М N ,которая пересечется с прямой а

М

a

В

А

М N а

N

1.Какой треугольник называется равнобедренным?

2. Назовите признаки и свойства равнобедренного треугольника.

3. Сформулируйте признаки равенства треугольников .

Докажем, что а MN

Посмотрим

на расположение

циркулей.

АМ=А N=MB=BN ,

как равные радиусы.

М N- общая сторона.

M В N = MAN ,

по трем сторонам

М

1

2

a

A

C

B

1 = 2

N

В равнобедренном треугольнике АМВ отрезок МС является биссектрисой, а значит, и высотой. Тогда, а М N.

М

Из доказанного выше можно записать еще один вывод :

В равнобедренном АМВ:

МС – биссектриса, высота и медиана , значит ВС=СА,

то есть С - середина отрезка ВА.

1

2

a

A

C

B

N

Выполнив построения к данной задаче с помощью циркуля и линейки, вы смогли решить сразу 3 задачи:

• Построили МСА=90
• Опустили перпендикуляр из точки М на прямую а
• Разделили точкой С отрезок АВ пополам.

Рассмотрим задачу №3 . Дана прямая а . На прямой а взята точка О.Постройте прямую, проходящую через точку О и перпендикулярную к прямой а .

Дано :

прямая a ,

Построить : РМ а

М a

a

М

Шаг 1. Построим окружность произвольного радиуса с центром в точке М. Точки пересечения прямой а и построенной окружности обозначим А и В.

Шаг 3. Проведём прямую PQ ,которая и будет являться искомой.

Шаг 2. Построим окружность с центром А радиусом АВ и окружность с центром В тем же радиусом. Обозначим точки пересечения данных окружностей P и Q .

P

a

М

В

А

РМ а

Q

P

a

М

В

А

Докажем, что а РМ

• АМ=МВ, как радиусы одной окружности.
• АР=РВ, как радиусы одной окружности

АРВ равнобедренный.

3. РМ - медиана в равнобедренном треугольнике является

также ВЫСОТОЙ.

Значит, а РМ.

Q

1) пп. 22-23,

2) вопросы 17-21 стр.50,

3)задача 1-2 (стр. 45-47), составить алгоритм построения.

Спасибо

за урок