Задачи на проценты

МБОУ «Тахталымская СОШ»

Учитель математики Нигаматуллина Рашида Нуриагзамовна»

Тему «Проценты» нельзя отнести к легко усваиваемым. Ее традиционное изучение сосредоточено в строгих временных рамках курса V-VI классов, что не позволяет расширять спектр практических приложений и полноценно учитывать возрастные возможности учащихся в формировании ряда важных практических умений в работе с процентами. В программу по математике в старших классах проценты не входят. При такой необязательности математические навыки обращения с процентами легко забываются. В старших классах оперирование с процентами становится прерогативой химии, которая внедряет свой взгляд на проценты через известные диаграммы. Умение решать задачи на проценты тесно связано с умением решать задачи на отыскание части от целого, а также целого по его части. Анализируя условия тех и других задач, сначала надо определить, какая величина принята за целое (в задачах на проценты—за 100%). Далее следует выяснить , известна ли эта величина. После этого уже нетрудно определить, какая величина приходится на одну долю (на 1%), и выполнить действия , необходимые для нахождения ответа на вопрос задачи.

Прежде чем приступить к решению задач, необходимо ответить на вопросы.

-Какая величина принята за целое?

-Известна ли эта величина?

-Как найти величину, которая приходится на одну долю?

Что требуется найти - часть от целого или целое по его части?

Перед решением задач на проценты дается аналогичное указание.

Прежде чем приступить к решению задач, необходимо ответить на вопросы.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

-Как найти величину, которая приходится на 1%?

Что требуется найти –процент от числа или число по его проценту?

При этом важно, чтобы обучающиеся, в случае если величина, принятая за 100%, известна, при ответе на первый вопрос называли бы не числовое ее значение, а описывали бы величину словами. Например, вместо «5 га» говорили бы «площадь всего поля», а вместо «230 км» - « длина всего пути». И так в пятом классе при изучении темы «Проценты» главное приучить детей при анализе условия задачи определять, какая величина принята за 100% и известна ли эта величина. Рассмотрим примеры.

Задача 1. Предприятие изготовила за квартал 500 насосов, из которых 60% имели высшую категорию качества. Сколько насосов высшей категории качества изготовило предприятие?

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

За 100% принято количество всех насосов, эта величина известна – 500 насосов.

-Как найти величину, которая приходится на 1%?

500:100=5(насосов) - на 1%

Сколько насосов придется на 60%?

5 × 60=300(насосов) – высшей категории.

Задача 2. Масса медвежонка составляет 15% от массы белого медведя. Найдите массу белого медведя, если масса медвежонка 120 кг.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

За 100% принята масса белого медведя, и эта величина нам неизвестна.

Зато мы знаем массу медвежонка - 120 кг, и эти 120кг составляют 15%.

-Как найти величину, которая приходится на 1%?

120:15=8(кг) – приходится на 1%

8 × 100 = 800(кг) – масса белого медведя.

В шестом классе уровень сложности задач повышается.

3адача3.

Глубина горного озера к началу лета была 60 м. За июнь его уровень понизился на 15%. В июле оно обмелела на 12% от уровня за июнь. Какова стала глубина озера к началу августа?

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

Глубина озера к началу лета принята за 100%, эта величина нам известна –

60 м.

-Как найти величину, которая приходится на 1%?

60 : 100 = 0,6(м) – на 1%

На сколько метров понизился уровень воды за июнь?

0,6 × 15 = 9 (м) понизился уровень воды в июне.

60 – 9 = 51(м)- глубина озера к началу июля.

Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

Глубина озера к началу июля принята за 100%, это величина нам известна -- 51 м.

-Как найти величину, которая приходится на 1%?

51 : 100 = 0,51(м) – на 1%

На сколько метров понизился уровень воды за июнь?

0,51 × 12 = 6,12(м) понизился уровень воды за июль.

Какова стала глубина озера к началу августа?

51 – 6, 12 = 44,88(м) – глубина озера к началу августа.

Задача 4.

Овощная база в первый день отпустила 40% всего имеющегося картофеля. Во второй день - 60% остатка. В третий день – остальные 72 тонны. Сколько тонн картофеля было на базе ?

Прочитайте первое предложение и ответьте на вопросы.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

Количество всего картофеля принято за 100%, эта величина нам неизвестна.

Прочитайте второе предложение и ответьте на вопросы.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

Количество картофеля , оставшейся после первого дня принято за 100%, эта величина неизвестна.

Но мы можем определить, сколько процентов картофеля отпустили во второй день.

100% - 40% = 60% картофеля осталось к концу первого дня.

60 × 0,6 = 36% картофеля отпустили во второй день.

Прочитайте третье предложение и ответьте на вопросы.

-Какая величина принята за 100%?

-Известна ли эта величина?

Количество всего картофеля принято за 100%, эта величина неизвестна.

Сколько процентов картофеля отпустили в третий день?

100% - 40% - 36% = 24%

Сколько тонн картофеля приходится на 1%?

72 : 24 = 3(т) на 1%.

Сколько тонн картофеля было на базе?

3 × 100 = 300(т) – картофеля было на базе.

Задача 5.

Свежий гриб содержит 90% воды, а сушеный 15%. Сколько получится сушеных грибов из 17кг свежих? Сколько надо взять свежих грибов, чтобы получить 3,4 кг сушеных?

Такие задачи вызывают у обучающихся наибольшие затруднения.

Прежде всего обучающимся надо сообщить, что практически любой продукт – яблоки, грибы, картофель, крупа, хлеб и т.д. состоит из воды сухого вещества. Причем воду содержат как свежие, так и сушеные продукты.Важно обратить внимание обучающихся на то, что в процессе высыхания испаряется только вода, а сухое вещество никуда не девается и его масса не изменяется. Организовать поиск решения, можно постепенно заполняя таблицу.

Если свежий гриб содержит 90% воды, значит сухого вещества в нем 10%.

Сушеный гриб содержит 15% воды, следовательно – сухого вещества 85%

По условию 17кг свежих грибов, значит, есть масса свежих грибов. Значит, дальше мы можем найти количество воды и сухого вещества в свежих грибах.

17:100=0,17(кг) масса 1% свежих грибов.

0,17 × 90 =15,3 (кг) – масса воды в свежих грибах

0,17× 10 = 1,7(кг) - масса сухого вещества

Учитывая то, что масса сухого вещества не меняется, мы можем заполнить еще одну клетку. И так на 1,7 кг составляют 85%, значит, можем определить массу 1% .

1,7:85 = 0, 02(кг) сухого вещества в 1%

0,02 × 100 = 2(кг) – масса сушеных грибов.

По мере овладения новым математическим аппаратом при изучении алгебры, учащиеся осваивают новую стратегию решения расчетных задач на проценты – с помощью составления уравнения.

Рассмотрим пример.

Задача 6.Для поведения опыта научный сотрудник химической лаборатории смешал 4% - ный раствор некоторого химического вещества и 10% - ный раствор этого вещества и получил 75 мл 8% - го раствора.. Сколько миллилитров 4% - го раствора и сколько 10%- го раствора было взято?

Решение. Обозначив через х и у количества 4% - го и 10%- го раствора запишем первое уравнение х + у = 75

Второе уравнение системы связывает количество соли в 4%- ом, 10% - ом и в получившемся растворах: 0,04х + 0,1у = 0,08(х+у). Решив эти два уравнения в системе, получаем значения х = 25, у = 50, т. е. получается 25 мл 4% - го раствора и 50 мг 8 % - го раствора.

Задачи на «концентрацию», «сплавы», «банковские расчеты» - это хорошие примеры практических задач, позволяющие продемонстрировать, как формальные алгебраические знания применяются в реальных жизненных ситуациях.

Литература:

1.Зубарева И. И. «Еще раз о процентах»

// Математика в школе. 2006 − №10.

2. Барабанов О.О. «Задачи на проценты как проблема нормы словоупотребления»

// Математика в школе. 2003 − №5.

3. Ситникова О. «Задачи на смеси и сплавы»

// Математика в школе. 2004 − №17.

4. Дорофеев Г.В. , Кузнецова Л.В. «Изучение процентов в основной школе»

// Математика в школе. 2002 − №1