Задачи на проценты

Действия с процентами

1. Найти a % от числа .

Например: найти 30 % от числа 60.

1 способ

2 способ

30%=0,3 60 - 100%

60*0,3=18 Х - 30%

1. Найти число по его процентам.

Например: найти число, если его 3 % равны150.

Аналогично: 2 способа

1. Найти процентное отношение чисел.

Сколько % составляет 150 от числа 600?

Аналогично: 2 способа.

Основные типы задач на %.

Если число a в на р %, то а=в+0,01р*в=в(1+0,01р)

Если число a %, то а=в-0,01р*в=в(1-0,01р)

Задача 1.Увеличить число 60 на 20 %.

60*(1+0,2)=60*1,2=72

Ответ: 72

Задача 2.

Число 72 уменьшить на 20%.

72*(1-0,2)=72*0,8=57,6

Задача 3. На сколько % надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

120=90*(1+0,01р)

1+0,01р=

р=100/3

р=33

Теперь, если объединить эти типы, то получим задачи вида:

Число а сначала увеличили на р %, потом полученное число уменьшили на р %.Как изменилось число?(ОГЭ)

Зачастую дети отвечают, что оно не изменилось.

Задача. Цену товара снизили на 30% , а затем повысили на 30%. Как изменилась цена товара?

Решение:

Пусть а - первоначальная цена товара.

0,7а – цена после снижения.

0,7а+0,21а=0,91а - после повышения.

а – 0,91а = 0,09а, т.е. цена понизилась на 9 %.

Ответ: понизилась на 9 %.

Ещё пример такой же задачи:

Цену товара повысили на 20 %, а затем снизили на 20 %. Как изменилась цена товара? (снизилась на 4 %)

Умение решать такие простейшие задачи помогают решать более сложные задачи на банковские операции, и не только. Важно верно составить математическую модель задачи, различая два вида процентного роста:

1. Простой процентный рост(S_n=S₀(1+)

2. Сложный процентный рост.(S=S₀(1+0.01p)ⁿ)

При этом нужно иметь в виду, что если величина изменяется на разное число %, то формула S=S(1+0.01p₁)(1+0.01p₂)…..(1+0.01p_n)

Т.е. используются формулы простых процентов и сложных процентов.(Впервые в 9 классе при изучении геометрической прогрессии)

Рассмотрим примеры:

Задача 1. Зарплату рабочему повысили сначала на 10 %, а через год ещё на 20 %. На сколько % она повысилась по сравнению с первоначальной?

Решение:

Пусть а – первоначальная з/п, тогда в=а(1+0,1)(1+0,2)=а*1,1*1,2=1,32а, т.е. з/п повысилась на 32 %.

Ответ: повысилась на 32 %.

Как было сказано выше: при решении задач на банковские операции нужно учитывать способы начисления %.

Простые % Сложные %

Т.е. вклад не зависит от Начисляются % на %

срока хранения и коли-

чества начислений %

Задача 2.

Банк выплачивает вкладчику каждый год 8 % годовых от внесённой суммы. Вкладчик положил 200000 рублей. Какая у него будет сумма через5 лет, через 10 лет?

Решение: по формуле простых %

S₅=S₀(1+0.08*5)=200000*1,4=280000 (рублей)

S₁₀=S₀(1+0.08*10)=200000*1,8=360000 (рублей)

Задача 3.

Вкладчик открыл счёт в банке, внеся 2000 рублей под 12 % годовых и решил не снимать % начислений в течение 6 лет. Какая у него будет сумма через 6 лет ?

Решение:

По формуле сложных процентов

а = 2000(1+0,12)⁶=2000*1,12⁶=3947,65 рубля), т.е. почти в 2 раза больше.

Рассмотрим более сложные задачи.

Задача. 31 декабря 2014 года Арсений  взял в банке  1млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на определённое  количество процентов), затем Арсений переводит в банк  очередной  транш.  Арсений  выплатил кредит за два транша, первый раз перевёл 550 тыс. рублей, второй -638,4 тыс. рублей. Под какой процент банк дал кредит Арсению? 

Решение:

В виде таблицы

Т.к. Арсений выплатил кредит за 2 транша, составим уравнение:

(450+10х)(1+0,01х)-638,4=0

0,1х²+14,5х-188,4=0

Х²+145х-1884=0

D=169², х₁₌ 12, х₂=-157

Ответ: 12 %.

Задача . 31 декабря 2014 года Сергей взял в банке 8420000 рублей в кредит под 10,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10,5%), затем Сергей переводит в банк  Х рублей. Какой должна быть сумма  Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

В виде таблицы

Сергей выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года), то получим уравнение:

(9304100-х)*1,105-х=0

10281030,5-2,105х=0

10281030,5=2,105х

Х=4884100

Ответ: 4884100 рублей

Можно в общем виде: пусть S- сумма кредита, под а %.Тогда после 1 выплаты останется S₁= Sb-Х, где b=1+0,01а.

После 2 выплаты

S₂= (Sb-Х)b-Х= Sb²-(1+b)Х

Х=Sb²/(1+b)

……S*(1+0,01р)ⁿ=X*

Задача. Вкладчик положил в банк деньги под 10 %.

После начисления процентов некоторую сумму он

изъял, а остаток оставил в банке. После вторичного

начисления процентов оказалось, что

образовавшаяся на счету сумма на 1 % меньше

исходной величины вклада. Сколько процентов от

исходной суммы было изъято вкладчиком после

первого начисления процентов?

Решение:

Разобъём все выполненные операции на 5 шагов

1). Положили в банк деньги под 10 %.

2). Первичное начисление %.

3). Изъяли некоторую сумму.

4). Вторичное начисление %.

5). На счету сумма уменьшилась на 1 %.

Пусть вкладчик положил х рублей и у % от суммы после 1 начисления, тогда после 1 начисления % у него стало 1,1х рублей. После этого он изъял 0,01ух рублей, у него осталось (1,1х-0,01ух) рублей. Тогда после вторичного начисления % у него стало 1,1(1,1х-0,01ух) рублей. После всего этого на счету исходная сумма уменьшилась на 1 %, т.е. стала равной 0,99х. Составим уравнение:

1,1(1,1х-0,01ух)=0,99х

1,21х-0,011ух=0,99х

1,21-0,011у=0,99

-0,011у=-0,22

у=20

Значит, 20 % от исходной суммы было изъято.

Решим 17 задания из пробного экзамена в марте 2016 года.(варианты 471 и 472)