Задачи на проведение фигуры одним росчерком

Задачи на проведение фигуры одним росчерком (или «одним движением карандаша», не отрывая его от бумаги)

Суть задачи

Нужно нарисовать заданную фигуру, не отрывая карандаш от бумаги и не проводя одну и ту же линию дважды (можно пересекать уже нарисованные линии).

Ключевое правило (Теорема Эйлера)

Фигуру можно нарисовать одним росчерком, если количество вершин с нечётной степенью (вершина, где сходится нечётное количество линий):

· 0 — можно начать с любой вершины и закончить в ней же.

· 2 — можно начать с одной нечётной вершины и закончить в другой.

Больше 2 — невозможно нарисовать одним росчерком.

Классические задачи

1. Домик

2. Конверт (квадрат с диагоналями)

Считаем вершины (точки пересечения линий!):

· Центральная вершина: степень 4 (чётная)

· Угловые: степень 2 (чётная)

· Средние точки на сторонах квадрата: степень 2 или 4

У классического конверта 4 нечётные вершины (те, где сходятся 3 линии) — нельзя.

3. Две отдельные фигуры

Если граф несвязный (например, два отдельных квадрата), то одним росчерком нарисовать нельзя, даже если у каждой части по 0 нечётных вершин.

Популярные головоломки

Задача 1: «Мостики Кёнигсберга»

Историческая задача Эйлера. Можно ли пройти по всем 7 мостам через реку, не проходя ни по одному дважды?

Ответ: Нет — у графа 4 вершины с нечётной степенью.

Задача 2: Звезда (пентаграмма)

Пентаграмма (5-конечная звезда): все вершины имеют степень 2 (чётная) — можно, начиная с любой точки и заканчивая в ней же.

Задача 3: Куб (его плоская проекция)

У куба в проекции все вершины степени 3 (нечётные), вершин 8 — все нечётные, значит, нельзя.

Как решать такие задачи

1. Представь фигуру как граф: отметь все вершины (точки, где линии сходятся).

2. Посчитай степени вершин: сколько линий выходит из каждой.

3. Выдели нечётные вершины:

· 0 → можно начать где угодно, закончить там же.

· 2 → начать в одной нечётной, закончить в другой.

· 2 → невозможно.

4. Если возможно, продумай маршрут: старайся идти так, чтобы не «заблокировать» себя в вершине, из которой не выйдешь.

Пример решения для фигуры с двумя нечётными вершинами

Возьмём прямоугольник с одной диагональю:

A • — — • B

| \ |

| \ |

| \ |

D • — — • C

Вершины:

A: 2 линии (чётная)

B: 3 линии (AB, BC, BD → нечётная)

C: 2 линии (чётная)

D: 3 линии (AD, CD, BD → нечётная)

Нечётные: B и D (2 штуки) → можно.

Начинаем с B, заканчиваем в D или наоборот.

Маршрут: B → C → D → A → B → D (проверь — все линии задействованы по разу).

Полезные советы

· Если фигуру можно нарисовать одним росчерком, реальное рисование требует иногда хитрости в порядке линий, чтобы не зайти в тупик.

· Задачи часто даются в виде «можно ли обвести фигуру», а не «нарисуй», поэтому главное — подсчёт нечётных вершин.

· Линии могут быть кривыми — это не важно, важна топология.