Задачи обучающего характера по теме ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Вписанная Окружность

(задачи Обучающего характера)

Геометрия, 8 класс

К учебнику Л.С.Атанасяна

Автор: Софронова Наталия Андреевна,

учитель математики высшей категории

МОУ «Упшинская основная общеобразовательная школа»

Оршанского района Республики Марий Эл

Площадь описанного многоугольника

В

r

r

С

О

r

r

А

Д

Задача 1.

В равносторонний треугольник вписана окружность радиусом 4 см. Найдите сторону треугольника.

В

О – точка пересечения

биссектрис АР и ВК

P

О

ОК – радиус вписанной

окружности, ОК = 4.

4

К

С

А

2 способ

АС - ?

АО =

АК = …

АС = …

Задача 2.

В равносторонний треугольник со стороной 8 см вписана окружность. Найдите радиус окружности

В

АВ = ВС = АС = 8.

О – точка пересечения

P

биссектрис АР и ВК

8

О

ОК – радиус вписанной

окружности

ОК - ?

К

С

А

АК = 4

ОК = х

АО = 2х

Задача 3.

В прямоугольном треугольнике АВС ( ∠С = 90 0 ) АВ = 10 см, радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите площадь треугольника.

А

х

О – точка пересечения биссектрис

М

х

К, М, Р – точки касания

10 - х

О

К

ОК = ОМ = ОР = 2 см, АВ = 10 см

2

Р

АС = х + 2

ВС = 2 + 10 - х = 12 - х

В

10 - х

2

С

По теореме Пифагора

АС = 4 + 2 = 6

АС = 6 + 2 = 8

(х + 2) 2 + (12 – х) 2 = 10 2

ВС = 12 – 4 = 8

ВС = 12 – 6 = 6

х 2 – 10 х + 24 = 0

х 1 = 4, х 2 = 6

или

Задача 4.

В прямоугольном треугольнике АВС ( ∠С = 90 0 ) АС + ВС = 17 см, радиус вписанной окружности равен 2 см. Найдите площадь треугольника.

А

х-2

О – точка пересечения биссектрис

М

х-2

К, М, Р – точки касания

15 - х

О

К

ОК = ОМ = ОР = 2 см, АС + ВС = 17 см

2

АС = х

ВС = 17 - х

Р

В

15 - х

2

С

АВ = х – 2 +15 – х = 13

По теореме Пифагора

АС = 12

АС = 5

х 2 + (17 – х) 2 = 13 2

ВС = 17 – 12 = 5

ВС = 17 – 5 = 12

х 2 – 17 х + 60 = 0

х 1 = 12, х 2 = 5

или

Задача 5.

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 30 0 , радиус вписанной в него окружности равен 5 см. Найдите площадь треугольника.

А

х-5

О – точка пересечения биссектрис

М

х-5

К, М, Р – точки касания

х+5

О

К

ОК = ОМ = ОР = 5 см, ∠В = 30 0

5

30 0

АВ = 2 х

АС = х

Р

В

С

5

х+5

СВ = 5 + х + 5 = х + 10

По теореме Пифагора

х 2 + (х + 10) 2 = (2х) 2

х 2 – 10 х - 50 = 0

Задача 6.

В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60 0 , радиус вписанной в него окружности равен 4 см. Найдите площадь треугольника.

А

х+4

О – точка пересечения биссектрис

М

х+4

К, М, Р – точки касания

х-4

О

К

ОК = ОМ = ОР = 4 см, ∠В = 60 0

4

60 0

АВ = 2 х

ВС = х

Р

В

С

4

х-4

АС = 4 + х + 4 = х + 8

По теореме Пифагора

х 2 + (х + 8) 2 = (2х) 2

х 2 – 8 х - 32 = 0

Задача 7.

Четырехугольник АВСД описан около окружности. Найдите стороны АВ и СД, если ВС = 6 см, АД = 9 см, АВ в два раза больше, чем СД.

B

6

AB + CD = BC + AD

C

2х

х

2х + х = 6 + 9

х = 5

A

9

D

СД = 5 см

АВ = 10 см

Задача 8.

х

х

В

С

С

В

О

х

D

10

А

10

А

D

х + 20

К

Н

BC + AD = AB + CD

х + х + 20 = 18 + 18

х = 8

СD = 18

ВС = 8

ВС = 8 + 20 = 28

Задача 9.

х

х

В

С

В

С

О

24

24

х

D

А

48 – х

Н

К

24-х

А

24-х

D

BC + AD = AB + CD = 48

АВ = СD = 24

ВС = 12

АD = 48 – 12 = 36

Расстояния от центра вписанной в прямоуголь-ную трапецию окружности до концов большей боковой стороны равны 6 см и 8 см. Найдите площадь трапеции.

Задача 10.

N

К, N, H – точки касания

С

В

6

К

О – точка пересечения биссектрис

О

СО, DО –биссектрисы углов С и D

8

∠ ВСD + ∠АDС = 180 0 , ∠ОСD + ∠ОDС = 90 0

D

Н

А

∠ CОD = 90 0

CD = 10

OH⏊AD, ON⏊BC, OH = ON = OK = 4,8

OK⏊CD

NH = AB = 9,6

BC + AD = AB + CD = 9,6 + 10 = 19,6

Расстояния от центра вписанной в равнобедренную трапецию окружности до концов боковой стороны равны 9 см и 12 см. Найдите площадь трапеции.

Задача 11.

N

К, N, H – точки касания

С

В

9

К

О – точка пересечения биссектрис

О

СО, DО –биссектрисы углов С и D

12

∠ ВСD + ∠АDС = 180 0 , ∠ОСD + ∠ОDС = 90 0

D

Н

А

∠ CОD = 90 0

CD = АВ = 15

OH⏊AD, ON⏊BC, OH = ON = OK = 7,2

OK⏊CD

NH = 14,4

BC + AD = AB + CD = 15 + 15 = 30