Задачи по теме "Сложение вероятностей"

Сложение вероятностей — это операция, которая позволяет найти вероятность наступления хотя бы одного из нескольких событий. Основные подходы зависят от того, являются ли события несовместными или совместными.

Теория

1. Несовместные события — это события, которые не могут произойти одновременно. Для них вероятность суммы равна сумме вероятностей:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Пример: при броске игральной кости события «выпадение 1» и «выпадение 2» несовместны.

1. Совместные события — это события, которые могут произойти одновременно. Для них вероятность суммы учитывает пересечение:

P(A+B)=P(A)+P(B)−P(A⋅B)

где P(A⋅B) — вероятность одновременного наступления событий A и B.

1. Противоположные события — события, одно из которых происходит тогда, когда другое не происходит. Сумма их вероятностей равна 1:

P(A)+P(A‾)=1

где A‾ — событие, противоположное A.

Примеры задач с решениями

Пример 1: несовместные события

В ящике 9 шаров: 2 белых, 3 красных и 4 зелёных. Найти вероятность того, что вынутый шар будет красным или зелёным.

Решение:

• Пусть A — событие «вынут красный шар», B — «вынут зелёный шар».

• P(A)=3/9=13​, P(B)=4/9.

• События A и B несовместны, поэтому:

P(A+B)=P(A)+P(B)=1/3+4/9=7/9

Пример 2: совместные события

В процедурный кабинет поступило 20 направлений: 10 на общий анализ, 4 на сифилис, остальные на ВИЧ. Медсестра выбирает два направления. Найти вероятность того, что она выберет направления на общий анализ или на ВИЧ, или на оба одновременно.

Решение:

Решим задачу по шагам.

1. Определим количество направлений каждого типа

Всего направлений: 20.

• на общий анализ: 10;

• на сифилис: 4;

• на ВИЧ: 20−10−4=6.

2. Сформулируем событие, вероятность которого нужно найти

Нам нужно найти вероятность того, что медсестра выберет два направления, причём:

• оба на общий анализ, или

• оба на ВИЧ, или

• одно на общий анализ и одно на ВИЧ.

Иначе говоря, среди выбранных двух направлений не должно быть ни одного на сифилис.

3. Найдём общее число способов выбрать 2 направления из 20

Используем формулу сочетаний: С₂₀² - 190

4. Найдём число благоприятных исходов

Благоприятные исходы — это все пары направлений, в которых нет ни одного на сифилис. То есть оба направления — либо на общий анализ, либо на ВИЧ.

Всего таких «не‑сифилисных» направлений: 10+6=16.

Число способов выбрать 2 направления из этих 16: С ₁₆²- 120

5. Вычислим вероятность

Вероятность P равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

P=120/190= 12/19

Ответ12/19

Вероятность того, что медсестра выберет направления на общий анализ или на ВИЧ (или одно на общий анализ и одно на ВИЧ),

Пример 3: использование противоположных событий

В ящике 10 шприцев на 2 мл и 8 на 3 мл. Найти вероятность того, что хотя бы один из двух взятых шприцев будет на 2 мл.

Решение:

• Пусть C — событие «оба шприца на 3 мл».

• P(C)=8/18⋅7/17=56/306

• Противоположное событие C‾C — «хотя бы один шприц на 2 мл»:

P(C‾)=1−P(C)=1−56/306=250/306

Ответ.250/306

Дополнительные задачи

1. Стрелки и попадания:

   • Вероятность попадания первого стрелка — 0,8, второго — 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одновременном выстреле.

   • Решение: P(A+B)=0,8+0,9−0,8⋅0,9=0,98

2. Станки и внимание мастера:

   • Три станка требуют внимания с вероятностями 0,4, 0,6 и 0,3. Найти вероятность того, что ровно один станок потребует внимания.

   • Решение: рассмотреть все комбинации, где только один станок работает, и сложить их вероятности.

Задача 1. Экзаменационные вопросы

Условие
На экзамене по физике студент отвечает на один вопрос из списка. Вероятность того, что вопрос будет на тему «Механика», равна 0,25. Вероятность вопроса на тему «Электричество» — 0,3. Вопросов, относящихся сразу к двум темам, нет. Какова вероятность, что вопрос будет по одной из этих двух тем?

Решение

1. Обозначим события:

   • A — вопрос на тему «Механика», P(A)=0,25;

   • B — вопрос на тему «Электричество», P(B)=0,3.

2. События A и B несовместны (по условию нет вопросов, охватывающих обе темы).

3. По теореме сложения вероятностей для несовместных событий:

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,25+0,3=0,55.

Ответ: 0,55.

Задача 2. Пассажиры в автобусе

Условие
Вероятность того, что в автобусе окажется меньше 10 пассажиров, равна 0,46. Вероятность того, что пассажиров будет от 10 до 14, нужно найти. Известно, что вероятность иметь меньше 15 пассажиров — 0,64.

Решение

1. Обозначим события:

   • A — меньше 10 пассажиров, P(A)=0,46;

   • B — от 10 до 14 пассажиров (искомое);

   • A∪B — меньше 15 пассажиров, P(A∪B)=0,64.

2. События A и B несовместны (число пассажиров не может одновременно быть и

3. По теореме сложения:

P(A∪B)=P(A)+P(B)⟹0,64=0,46+P(B).

1. Находим P(B):

P(B)=0,64−0,46=0,18.

Ответ: 0,18.

Задача 3. Литературный экзамен

Условие
На экзамене по литературе вопрос может быть на тему «Творчество Пушкина» (вероятность 0,15) или на тему «Творчество Лермонтова» (вероятность 0,21). Вопросов, охватывающих обе темы, нет. Какова вероятность, что вопрос будет по одной из этих тем?

Решение

1. События:

   • A — вопрос о Пушкине, P(A)=0,15;

   • B — вопрос о Лермонтове, P(B)=0,21.

2. События несовместны (по условию).

3. Применяем теорему сложения:

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,15+0,21=0,36.

Ответ: 0,36.

Задача 4. Стрелок и мишень

Условие
Стрелок делает один выстрел. Вероятность попасть в «десятку» — 0,1. Вероятность попасть в «девятку» — 0,2. Какова вероятность выбить не менее 9 очков?

Решение

1. События:

   • A — попадание в «десятку», P(A)=0,1;

   • B — попадание в «девятку», P(B)=0,2.

2. События несовместны (одно попадание не может быть одновременно и «десяткой», и «девяткой»).

3. Искомая вероятность:

P(A∪B)=P(A)+P(B)=0,1+0,2=0,3.

Ответ: 0,3.

Задача 5. Погода на острове

Условие
На острове погода бывает «отличная» или «хорошая». Сегодня (18 июля) погода хорошая. Вероятность, что завтра погода останется такой же, — 0,6. Найдите вероятность, что 21 июля погода будет отличной.

Решение

1. Рассмотрим переходы по дням:

   • 19 июля:

     • хорошая → хорошая: 0,6;

     • хорошая → отличная: 1−0,6=0,4.

   • 20 июля:

     • если 19‑го была хорошая, то:

       • хорошая → хорошая: 0,6;

       • хорошая → отличная: 0,4.

     • если 19‑го была отличная, то:

       • отличная → хорошая: 0,4;

       • отличная → отличная: 0,6.

2. 21 июля погода отличная, если:

   • 19‑го хорошая, 20‑го отличная, 21‑го отличная:

0,6⋅0,4⋅0,6=0,144;

• 19‑го хорошая, 20‑го хорошая, 21‑го отличная:

0,6⋅0,6⋅0,4=0,144;

• 19‑го отличная, 20‑го отличная, 21‑го отличная:

0,4⋅0,6⋅0,6=0,144;

• 19‑го отличная, 20‑го хорошая, 21‑го отличная:

0,4⋅0,4⋅0,4=0,064.

1. Суммируем вероятности несовместных путей:

0,144+0,144+0,144+0,064=0,496.

Ответ: 0,496.