Задачи про рыцарей и лжецов

парадокс лжеца является высказывание Евбулида (4 век до н. э.): «Я лгу».

Если сказав «я лгу», я сказ истину, то значит я при этом солгал (т. е. сказал неправду), что противоречит, следовательно, произнося это высказывание, я сказал неправду, т. е. солгал. Итак, доказав, что произнеся это высказывание, я солгал, а т к именно это я и утверждал, произнося это высказывание, то я, тем самым, сказал при этом истину, т. е. док и то, что я (в том же слцчае) сказал истину. В этом протиоречиив и состоит парадокс.

Чел произносит: «Я лгу», или «То что я сейчас говорю, является ложью», или же «Это высказывание ложно». Если высказывание ложно, то говорящий сказал правду и, сказанное им не является ложью. Если же высказывание не является ложным, а говорящий утверждает, что оно ложно, то это его высказывание ложно. Таким образом, если говорящий лжёт, он говорит правду, и наоборот.

Парадокс лжеца демонстрирует расхождение разговорной речи с формальной логикой, вводя высказывание, которое одновременно истинно и ложно.

Утверждение, составляющее парадокс лжеца, в формальной логике не доказывается и не опровергается. Поэтому считается, что данное высказывание вообще не является логическим утверждением .Попытка разрешить парадокс прив к обобщениям классической логики: например, тройственной логике,  комплексной логике или паранепротиворечивой логике

Задачи про рыцарей и лжецов

0) На острове живут рыцари и лжецы. Путник, встретив местного жителя, спросил его, кем он является. Что ответил житель?

1а)A утверждает: «Я говорю правду». Кто он рыцарь или лжец?

1б) А говорит "Или я лжец, или 2+2=5.

К какому заключению можно прийти на основании этого утверждения? 

2) Путник на дороге, соединяющей город лжецов и город рыцарей. Он хочет узнать, в какой стороне находится каждый из городов. Какой вопрос он должен задать прохожему (не зная, рыцарь он или лжец), чтобы определить это?

3) А говорит: «По крайней мере, один из нас лжец».

Кто такой А (рыцарь или лжец) и кто такой В?

Реш Если А – лжец, тогда получается, что он говорит правду (действительно тогда хотя бы один из них лжец, а именно А). Это противоречие. Поэтому А не может быть лжецом. Поэтому А – рыцарь. Поэтому он говорит правду (как рыцарь). Поэтому среди них есть хотя бы один лжец. Но так как А – рыцарь, то лжец – В.

Ответ: А – рыцарь, В – лжец.

3а) A говорит: "Или я лжец, или B рыцарь". Кто из A и B рыцарь и кто лжец (4 вар отв)

3б) Из 2 жит A и B B утверждают: «Только один из нас двоих рыцарь». Кто эти жители?

3в) A утверждает: «Мы оба вместе с B лжецы». Кто есть A и кто есть B?

3г) A: B утверждает, что он рыцарь.

B: A утверждает, что он лжец.

К какой категории следует отнести каждого?

3д) двое людей A и B, о которых известно, что каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо нормальный человек, высказал утверждение A: B — рыцарь. B: A — не рыцарь.

Доказать, что по крайней мере один из них говорит правду, но это не рыцарь. Доказать а)если A говорит правду, то он говорит правду, не будучи рыцарем; б)если A лжет, то B говорит правду, не будучи рыцарем.

3е)  А и В. А говорит: «Я лжец, а В не лжец». Кто такой А (рыцарь или лжец), и кто такой В? Отв: А и В оба лжецы.

Решение: запишем высказывание формулой тогда должно быть

или =1 или а) или б) случай б)

В случае а) А рыцарь и он не может соврать (p=0). В случае б) подставив А=0 в 1-е уравнение имеем т е В=0

4)В городе есть Р , все высказывания которых правда, Л – каждое высказывание которых – ложь. Г- может говорить правду, но может и солгать. Однажды встретился человек, который сказал о себе: «Я – лжец». Кем был тот человек, который встретился?

5) 3 жителя A, B и C. Двое из них (A и B) высказали утверждение:

A: Мы все лжецы. B: Один из нас рыцарь.

Кто из 3 островитян A, B и C рыцарь и кто лжец?

5а)На острове живут рыцари, кот всегда говорят правду, и лжецы, которые всегда лгут. Путник встретил 3 человек и спросил каждого из них: "Сколько рыцарей среди твоих спутников?". 1й ответил: "Ни одного". 2й сказал: "Один". Что сказал 3й?

Реш Если 1й — рыцарь, то в силу его слов 2й и 3й — лжецы, что невозм из-за высказ 2го островит. Зн, 1й — лжец. Если 2й — лжец, то в силу его слов 3й тоже лжец, но тогда 1й сказ правду, а он д б соврать. Зн, 2й — рыцарь. В силу его слов 3й тоже рыцарь. 3й честно отв: "Один". Отв Один.

5б)На острове живет 25 чел: рыцари, лжецы и хитрецы. Рыцари всегда гов правду, лжецы всегда лгут, а хитрецы отв на зад им вопросы по оч то правду, то ложь. Всем жит острова б задано 3 вопр: “Вы рыцарь?”, “Вы хитрец?”, “Вы лжец?”. На 1й вопр “Да” отв 15 чел, на 2й — 7 чел, на 3й — 5 чел. Сколько хитрецов живет на этом острове?

Нач реш.1) Рыцарь (R) на такие вопр ответит: "да, нет, нет";2) Лжец (L) на такие вопросы ответит "да,да, нет";3) Хитрец может ответить либо: "да, нет, да" (X1),

либо "нет, да, нет" (X2).

Теперь по задаче составим систему уравнений : R+L+X1+X2=25, R+L+X1=15, L+X2=7, X1=5. Поэтому X1=5, отсюда X2=10, но тогда L=-3. Вр бы верно все сделал, но получ противор. -На 1 и 3 вопр хитрецы д б отв одинак, отсюда R+L=15−5=10, а хитрецов всего 25−10=15.Для полноты решения надо проверить, что ответ на 2й вопрос не противоречит ответу.

5с) На острове живут 100 рыцарей и 100 лжецов, у каждого из них есть хотя б один друг. Однажды утром каждый житель произнес фразу «Все мои друзья — рыцари», либо «Все мои друзья — лжецы», причем каждая из фраз произнесена ровно 100 чел. Найдите мин возможное число пар друзей, один из которых рыцарь, а другой — лжец.

Решение: в паре рыцарь-лжец каждый д сказать, что другой лжец: рыцарь скажет правду, а лжец соврёт, в паре рыцарь-рыцарь оба скажут правду, а в паре лжец-лжец оба скажут неправильно. Значит фраза «Все мои друзья — лжецы» употребляется только в парах рыцарь-лжец. Минимальное количество пар рыцарь-лжец, когда фразу сказало 100 чел, это 50. Если пар было меньше, то и фраз тоже было меньше.

6в)). За круглым столом собр 2012 жит острова. Каждый из низ заяв : "Один из моих соседей - рыцарь, а др - лжец".  М ли опр ск за столом рыцарей.

Реш. Соседи Рыцаря: Р-Р-Л Зн, посадка такая ...--Р-Р-Л--Р-Р-Л--.. число, сидящих д дел на 3.
Рыцарей д б в 2 р больше, чем лжецов. 2012 на 3 не делится. Задача не корректная

7)человек спросил A: "Сколько рыцарей среди вас?" A ответил неразборчиво. человек спросил B: "Что сказал A?" B ответил: "А сказал, что среди нас 1 рыцарь". Тогда C закричал "Он лжет!" Кто из 2 B и C рыцарь и кто лжец?

B - лжец, а C - рыцарь. B - рыцарь, а C - лжец.

8) Предположим, что A и B высказали следующие утверждения:

A: Мы все лжецы. B: Ровно 1 из нас лжец.

Можно ли определить, кто такой B: рыцарь или лжец?

Можно ли определить, кто такой C?

9) На о-ве  живут  только  рыцари , кот всегда гов правду,  и   лжецы , кот всегда лгут. В Думе о-ва - 11 депут. В целях сокр бюджета б решено сокр Думу на 1 депут. Но каждый из деп заявил, что, если его выведут из сост Думы, то среди оставя депут больш-во будут  лжецами . Сколько  рыцарей   и  сколько  лжецов  в Думе?

Изнач в Думе 5 рыцарей и 6 лжецов. Если убир рыцаря, то каждый из рыц вправе утв, что лжецов больше, если лжеца, то их с рыц будет поровну, но каждый лжец б утв, что их, лжецов, больше, т.е. лгать, как и положено

Сперва м предп, что рыцар , чем лжецов, и отсечь этот вар, потом, что рыц

10) 5) На острове, насел кот сост только рыцари, всегда гов правду, и лжецы, кот всегда лгут, нах НИИ. Каждый из его сотруд однажды сделал два заявления:
а) В инст нет и 10 чел, кот работают больше меня.
б) По кр мере 100 чел в инст получают зарплату большую, чем моя.
Известно, что нагрузка у всех работников разная, как и зарплата.

Сколько человек работает в НИИ?

53)Один из попугаев А, В, и С всегда говорит правду, другой всегда врет, а 3й – иногда говорит правду, а иногда врет. На вопрос: «Кто В?» они ответили :

А: - Лжец . В: - Я хитрец! С: - Абсолютно честный попугай.

Кто из попугаев лжец, а кто хитрец?

54)До Царя дошла весть, что кто-то из 3 богат убил Змея Горын. Приказал Царь им явиться ко двору. Илья Мур: - Змея убил ДН.Д Н: - Змея убил А П.А По: - Я убил змея.

Изв, что только 1 богатырь сказал правду, а двое  других слукавили. Кто убил змея?

55)До царя Гороха дошла молва, что наконец кто-то убил Змея Горыныча. Царь догад, что это дело рук или Ильи Муромца, или Добр Никитича, или Алеши Поповича. Пригл их ко двору, стал расспр. Трижды каждый богатырь речь держал. И сказали они так:

И М: «Я не убив З Г. А змея Гор убил А П.»

Д Н: «З убил А П. Но я если бы и убил, то не созн бы.

А П: «Не я убил ЗГ. Я давно ищу, какой бы подвиг совершить. И взаправду И Муромец в заморские страны уезжал.»

Потом царь Горох узнал, что дважды каждый богатырь правду говорил, а 1 раз соврал. кто убил Змея Горыныча?

56)За круглый стол сели 7 братьев-гномов. Гномы всегда говорят правду всем старшим братьям, а младшие всегда врут. Каждый гном сказал своему правому соседу: «все здесь присутствующие говорят мне только неправду». В каком порядке сидят гномы?

57)За круглым столом сидят 8 чел, каждый из которых л рыцарь, либо лжец. Рыцарь всегда говорит правду, а лжецы – всегда лгут . На вопрос, кто их соседи, каждый из них ответил : « Мои соседи – лжец и рыцарь». Сколько среди них будет лжецов ?

59)В стране есть города А и В. Все жители гор А говорят только правду, а жителм города В всегда лгут. Жители этих гор ходят друг к другу в гости. Путник попал в один из этих городов, но не знает, в какой. Как он может, задав 1 вопрос первому попавшемуся жителю, узнать, в каком городе он находится?

60)В конференции участвуют 100 чел – химики и алхимики. Каждому был задан вопрос: « Если не считать Вас, то кого больше среди остальных уч-ков – химиков или алхимиков?» когда опросили 51 участника, и все ответили, что алхимиков больше, опрос прервали. Алхим всегда лгут, а химики всегда говорят правду.

Сколько химиков среди участников?(пересеч и объед множеств)

1)Путешеств посетил селение, в кот каждый человек либо всегда гов правду, либо всегда лжет. Жители стали в круг, и каждый сказал путеш про соседа справа, правдив тот или лжив. На осн этих сообщ путеш одноз опред, какую долю от всех жит селения сост правдивые. Опр и вы, чему она равна. 

Реш Пусть x — доля правд жителей. Предст, что все правд жители стали лжецами, а все лжецы "исправ". Тогда путеш услышит то же самое! Действ, правдив любого жителя изм, но изм и правдив соседа, о кот он говорит. Но доля правд в этом круге = 1 - x. Таким обр, путеш не м отличить круг с долей правд жителей x от круга с долей правд жителей 1 - x. Зн, он м опр долю правдивых жит только при x = 1 - x. Но это значит, что x = 1/2.

Комм. Занум жителей числами по час стрелке и поло x_i = 1, если i-й житель лжец, и x_i = 0 — в прот с. Тогда i-й житель сообщит путеше x_i + x_{i + 1}, где слож происх по модулю 2 (т. е. 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 0). Поэтому информ, получ путеш, м понимать как систему лин уравн над полем из 2 элементов.

2)5 чел сидят за круглым столом каждый из них гов оба мои соседа слева и справа лжецы кроме того все присуств знают явл ли лжецами их соседи сколько лжецов за столом

Ответ 3 лжеца