Задание 14. Вариант 1 из 30 вариантов ЕГЭ Ященко

Задание 14. Вариант 1 из 30 вариантов ЕГЭ Ященко

Задание 14. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 3, боковые ребра равны 1, точка D – середина ребра CC1.

а) Постройте прямую пересечения плоскостей ABC и ADB1.

б) Найдите угол между плоскостями ABC и ADB1.

Решение.

а) Построение. Плоскости ABC и   будут иметь две общие точки: точка  , лежащая на пересечении отрезков BC и   и точка A, находящаяся в основании призмы (см. рисунок). Отрезок AN, соединяющий эти две точки, будет образовывать прямую пересечения плоскостей ABC и  .

б) Угол между плоскостями будет соответствовать углу  , причем отрезок   будет являться высотой треугольника ACN. Из рисунка видно, что треугольники   и   подобны друг другу с коэффициентом подобия  . Отсюда следует, что отрезок  . Сторона  . Следовательно, треугольник ACN равнобедренный с углом   (так как угол   в силу того, что треугольник ABC равносторонний). В равнобедренном треугольнике высота CH будет являться также и биссектрисой. Высоту CH вычислим из прямоугольного треугольника CHN, в котором CN – гипотенуза с прилежащим к ней углом  :

.

Учитывая, что точка D лежит точно посередине отрезка  , получаем длину отрезка  .

Найдем тангенс угла   между плоскостями ABC и   из прямоугольного треугольника CDH, получим:

И .

Ответ: