Задание 14. Вариант 10 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 14. Вариант 10 ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 14. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна 6√2, а сторона основания равна 4. Около основания пирамиды описана окружность.

а) Докажите, что отношение длины этой окружности к стороне основания равно π√2.

б) Найдите площадь боковой поверхности конуса, основанием которого служит эта окружность, а вершина совпадает с вершиной пирамиды.

Решение.

а) В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат. Следовательно, диаметр окружности, описанной вокруг квадрата (основания пирамиды), равен диагонали AC квадрата (см. рисунок ниже).

Так как сторона основания равна 4, то длина диагонали AC в соответствии с теоремой Пифагора, равна

,

и радиус описанной окружности равен

.

Длина окружности определяется формулой

,

и отношение

.

б) Площадь боковой поверхности конуса можно найти как

,

где   - образующая конуса. Найдем длину образующей из прямоугольного треугольника MOC по теореме Пифагора:

и площадь боковой поверхности конуса, равна

.

Ответ:  .