Задание 14. Вариант 16 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

Задание 14. Вариант 16 ЕГЭ 2021 из 36 вариантов

 Основанием пирамиды FABC является правильный треугольник ABC со стороной 48. Все боковые рёбра пирамиды равны 40. На рёбрах FB и FC отмечены соответственно точки K и N так, что FK = FN = 10. Через точки K и N проведена плоскость α, перпендикулярная плоскости ABC.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану AM в отношении 1:3.

б) Найдите расстояние от точки C до плоскости α.

Решение.

а) Плоскость α проходит через прямую KN, следовательно,  . Плоскость KNQ пересекает плоскость ABC по прямой PQ. Значит,  . Плоскость FMA пересекает прямую KN в точке E, а прямую PQ в точке L. Так как плоскость FMA перпендикулярна плоскости ABC и плоскость KNQ перпендикулярна плоскости ABC, то прямые   и треугольники FMO и EML подобны друг другу, откуда (учитывая, что MF=40, ME=40-10=30)

Пусть ML=3x, MO=4x, тогда LO=MO-ML=x. Учитывая, что пирамида FABC – правильная, то точка O является центром описанной (и вписанной) окружности треугольника ABC и делит AM в точке O в отношении 2:1, ситая от вершины A. Значит, AO=2MO=8x, а AL=8x+x=9x. Получаем, что

или в виде: LM:AL = 1:3.

б) По условию задания треугольник ABC – равносторонний, AM – его медиана, следовательно,

откуда

Точка O – пересечение медиан и ML:LA=1:3 (см. п. а), имеем:

это также есть расстояние от точки C до плоскости KNQ.

Ответ: 6√3