Задание 14. Вариант 18. ЕГЭ 2019 из 30 вариантов

Задание 14. Вариант 18. ЕГЭ 2019 из 30 вариантов

Задание 14. В правильной четырёхугольной пирамиде MABCD с вершиной М боковое ребро равно 10. Точка L — середина ребра МС. Тангенс угла между прямыми BL и AM равен  .

а) Пусть О — центр основания пирамиды. Докажите, что прямые AM и OL параллельны.

б) Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Решение.

а) В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат и точка O – проекция вершины пирамиды на основание, лежит на пересечении диагоналей квадрата и делит их пополам. Точка L – середина ребра MC по условию задачи. Следовательно, в треугольнике AMC прямая OL является средней линией, а как известно, средняя линия параллельная основанию треугольника, то есть  .

б) Найдем сначала длину основания (квадрата). Покажем, что треугольник LOB прямоугольный. Из рисунка видно, что треугольник DLB – равнобедренный (DL=LB), а отрезок LO – медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию DB. Но как известно, такая медиана равнобедренного треугольника является также и высотой, следовательно,   и треугольник LOB – прямоугольный. В этом прямоугольном треугольнике катет   и известен тангенс угла OLB, найдем OB:

,

откуда

.

Сторону BC можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BOC (так как диагонали квадрата пересекаются под прямым углом):

.

Площадь боковой поверхности пирамиды состоит из площадей четырех равных равнобедренных треугольников MBC. Чтобы найти площадь данного треугольника, вычислим высоту этого треугольника, зная длины его сторон, получим (из прямоугольного треугольника MHC):

и

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна

.

Ответ: 120.