Задание 14. Вариант 22. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 22. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Вокруг куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 2 описана сфера. На ребре СС1 взята точка М так, что плоскость, проходящая через точки А, В, и М, образует угол 15° с плоскостью ABC.

а) Постройте линию пересечения сферы и плоскости, проходящей через точки А, В и М.

б) Найдите длину линии пересечения плоскости АВМ и сферы.

Решение.

а) Сечение сферы плоскостью является окружностью. Пусть прямая BM вторично пересекает сферу в точке K. Искомая линия – описанная окружность вокруг прямоугольного треугольника ABK.

б) Точка K – точка пересечения прямой BM с описанной окружностью квадрата  . Угол  , так как   - диаметр окружности, поэтому  .

Так как  , то  . Следовательно,

.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK. Длина описанной вокруг него окружности равна произведению ее диаметра AK на число  . Таким образом,

и длина линии пересечения плоскости АВМ и сферы равна  .