Задание 14. Вариант 23. ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 14. Вариант 23. ЕГЭ 2018 из 30 вариантов

Задание 14. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 стороны основания равны 20, боковые рёбра равны 11.

а) Докажите, что сечение призмы плоскостью, проходящей через A1B1 и середину ребра ВС, является трапецией.

б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через вершины A1B1 и середину ребра ВС.

Решение.

а) В правильной призме плоскости оснований ABC и   параллельны друг другу. Плоскость сечения проходит через точки   и точку M, находящейся на середине отрезка BC, следовательно, плоскость сечения будет также пересекать в центре и отрезок AC в точке N, то есть MN – средняя линия треугольника ABC и  . Так как  , то и  . Учитывая, что длина отрезка  , то получаем фигуру с разными по длине, но параллельными отрезками – такая фигура может образовывать только трапецию.

б) В основании правильной треугольной призмы лежит равносторонний треугольник, следовательно, трапеция   - равнобедренная. Площадь трапеции будем искать по формуле

.

Найдем высоту трапеции NH из прямоугольного треугольника  . Гипотенузу   этого треугольника найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника  , получим:

Катет   треугольника   вычислим с учетом равнобедренности трапеции   и длины  , получим:

.

В результате, высота NH трапеции будет равна

и площадь сечения

.

Ответ: 210.