Задание 14. Вариант 27. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 14.  Вариант 27. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 4. На его ребре ВВ1 отмечена точка K так, что KB=3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

а) Докажите, что A1P:PB1 =2:1, где Р — точка пересечения плоскости α с ребром А1В1.

б) Найдите угол наклона плоскости α к плоскости грани ВВ1С1C.

Решение.

а) Проведём через точку K прямую, параллельную BD1. Пусть эта прямая пересекает плоскость грани A1B1C1D1 в точке L. Прямая KL лежит в плоскости BB1D1, значит, точка L лежит на диагонали B1D1. Более того, B1L:LD1 =В1K:KB=1:3.

Прямая C1L пересекает ребро А1В1 в точке Р, принадлежащей плоскости α. Треугольники B1LP и D1LC1 подобны, поэтому B1P:D1C1=B1L:D1L=1:3. Значит, A1Р:РВ1 =2:1.

б) Опустим из точки перпендикуляр В1Н на C1K. По теореме о трёх перпендикулярах прямые РН и C1K перпендикулярны. Значит, угол B1HP искомый.

Поскольку А1Р:РВ1 = 2:1, получаем PB1 = 4/3. В прямоугольном треугольнике B1C1K:

.

Значит,

.

Ответ:  .