Задание 14. Вариант 27 ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 14. Вариант 27 ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 13. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость а делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью a.

Решение.

а) Сечение (плоскость  ) проходит через точки M и N, причем   - средняя линия. Это означает, что отрезок  . По условию секущая плоскость перпендикулярна плоскости ABC, следовательно, она пересекает плоскость ABC по уровню PQ, причем  . Таким образом, секущая плоскость представляет собой трапецию PMNQ.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOE, где SO – высота правильной пирамиды. Точка O лежит на пересечении медиан правильного треугольника (в основании пирамиды) и делит их в отношении 2:1, то есть

.

Точка K является серединой отрезка MN, причем  , откуда следует, что  . Так как  , то  . Таким образом, получаем, что  .

б) Площадь сечения (трапеции) MNPQ можно найти по формуле

,

где  ;  ;   (величина SO находится по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника SOC, учитывая, что OC – радиус описанной окружности вокруг равностороннего треугольника и равен  ). Подставляем числовые значения в формулу площади, получаем:

.

Ответ: 44