Задание 14. Вариант 29 ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 14. Вариант 29 ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ=√11 и ВС = 2√3. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 5, SB = 6, SD = √37.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямой SC и плоскостью ASB.

Решение.

а) 1. Рассмотрим треугольник SAB со сторонами  ,  ,  . Так как  , то треугольник SAB – прямоугольный с гипотенузой SB и катетами  .

2. Рассмотрим треугольник SAD. Его стороны  ,  ,  . Можно заметить, что

,

следовательно, треугольник SAD прямоугольный с гипотенузой SD и катетами  .

3. Так как   и  , то ребро   и, следовательно, SA – высота пирамиды.

б) По теореме о трех перпендикулярах  . Угол между прямой SC и плоскостью ASB будет равен углу CSB.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SBC. Тангенс угла CSB равен

.

Следовательно,

,

который соответствует углу между прямой SC и плоскостью ASB.