Задание 14. Вариант 3. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 3. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания А1B1С1. Через ребро АС проведена плоскость α, которая пересекает ребро BB1 в точке K и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка K делит ребро ВВ1 в отношении 7:1, считая от точки В.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 2√2, а ребро меньшего основания равно 2√6.

Решение.

а) Пусть площадь треугольника A1B1C1 равна S1, а площадь треугольника ABC равна S. Причем, S=4∙S1 по условию задания. Также обозначим h=OO1 и h1 = KK2. Запишем объем усеченной пирамиды в виде:

Запишем объем пирамиды KACB:

По условию задания плоскость α делит пирамиду на два многогранника равного объёма, значит,  , получаем:

Так как треугольники B1BB2 и KBK2 подобны, можно записать отношение:

или в виде BK:B1K = 7:1

б) Так как по условию задания площадь нижнего основания ABC в четыре раза больше площади меньшего основания А1B1С1, то AB A1B1 в 2 раза. Учитывая, что ребро  , получаем  . Далее, из отношения

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором BH – высота и треугольник BHC – прямоугольный. Тогда

и  . По условию задания дано  , тогда из отношения

Далее,

и

Ответ: 13√6