Задание 14. Вариант 30. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 30. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов.

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 4 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = 3, SB = 5, SD = 3√5.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите расстояние от вершины А до плоскости SBC.

Решение.

а) SA будет высотой пирамиды, если она будет перпендикулярна (ортогональна) плоскости основания ABCD. Докажем это. Рассмотрим треугольник SAB со сторонами  , которые подчиняются равенству

,

следовательно, треугольник SAB прямоугольный с гипотенузой SB и катетами  .

Теперь рассмотрим треугольник SAD, у которого стороны  , также подчиняются равенству

,

следовательно, SAD прямоугольный треугольник с гипотенузой SD и катетами  .

Учитывая, что   и  , то  , т.е. является высотой.

б) Расстояние от точки A до плоскости SBC – это перпендикуляр из точки A на плоскость SBC. Это расстояние можно интерпретировать как высоту пирамиды с основанием SBC и вершиной A (повернутая пирамида, точку D условно отбрасываем). Высоту пирамиды   найдем из формулы объема пирамиды:

.

В то же время объем этой же пирамиды можно найти и так:

.

Таким образом, получаем

.

Ответ: 2,4.