Задание 14. Вариант 30. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 30. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 12, а боковое ребро SA равно 8. Точки М и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость a содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость a делит медиану СЕ основания в отношении 5:1, считая от точки С.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка С, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью a.

Решение.

а) В основании правильной треугольной пирамиды лежит равносторонний треугольник. Проекция высоты S пирамиды на основание дает точку O, которая лежит на пересечении медиан. Таким образом, точка O делит медианы в отношении 2:1, то есть

.

Рассмотрим высоту SE. Точка  , расположена точно по центру высоты SE. Следовательно, ее проекция на медиану CE делит отрезок OE пополам. В свою очередь отрезок  , тогда

.

В итоге получаем, что точка F делит медиану CE как

или в соотношении 5:1, начиная от точки C.

б) Найдем высоту пирамиды CF, которая равна  . Длину медианы СЕ найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника BCE:

и

.

Следовательно,

.

Вычислим площадь основания пирамиды (площадь трапеции MNZK). Отрезок  , отрезок   (так как это средняя линия треугольника ABS), высота трапеции  . Найдем высоту SO из прямоугольного треугольника SOC:

,

тогда

.

Площадь трапеции (основания пирамиды) равна

.

Объем пирамиды найдем по формуле

.