Задание 14. Вариант 33. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 14.  Вариант 33. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов

Задание 14. В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 8 и ВС = 6. Длины боковых рёбер пирамиды SA = √21, SB = √85 , SD = √57.

а) Докажите, что SA — высота пирамиды.

б) Найдите угол между прямыми SC и BD.

Решение.

а) Рассмотрим треугольник SAB. Из значения его сторон следует, что

,

Следовательно, SB – гипотенуза и угол SAB – прямой.

Аналогично для треугольника SAD:

,

получаем, что SD – гипотенуза и угол SAD – прямой. В результате получаем, что при   и  , следует   (по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), и следовательно, SA – высота пирамиды.

б) Угол между прямыми SC и BD – это угол между двумя скрещивающимися прямыми, который соответствует углу   между прямыми NO и OD (см. рисунок). Так как прямая   и точка O делит прямую AC пополам, то и точка N будет делить AS пополам. Следовательно, ON – это средняя линия треугольника ASC и равна

.

Вычислим диагональ AC из прямоугольного треугольника ACD:

.

Тогда длина ребра SC будет равна (учитывая, что треугольник SAC прямоугольный):

и

.

Так как диагонали в прямоугольнике равны, то BD=AC. Тогда

.

Найдем длину отрезка DN. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAD, в котором катет  , катет   и по теореме Пифагора имеем

.

По теореме косинусов находим косинус угла  , получаем:

откуда

.