Задание 14. Вариант 36. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов

Задание 14. Вариант 36. ЕГЭ 2018 из 36 вариантов

Задание 14. В правильной треугольной пирамиде МАВС с основанием ABC стороны основания равны 6, а боковые рёбра равны 5. На ребре АС находится точка D, на ребре АВ находится точка Е, а на ребре AM — точка L. Известно, что AD = АЕ = AL = 4.

а) Докажите, что отрезок DE содержит центр основания пирамиды.

б) Найдите угол между плоскостью основания и плоскостью, проходящей через точки Е, D и L.

Решение.

а) В правильной треугольной пирамиде высота M проецируется в точку O пересечения медиан правильного (равностороннего) треугольника. Медианы делят друг друга в соотношении 1:2, то есть  .

По условию задания  , длина отрезков  , следовательно, точки D и E делят стороны AB и AC в соотношении  . Это означает, что точка пересечения   также делит медиану AP в соотношении  . Но это означает, что точка O является проекцией вершины пирамиды M на основание, т.е. DE содержит центр основания пирамиды.

б) Двугранный угол между плоскостью ABC и плоскостью EDL равен линейному углу AOL. Проведем перпендикуляр LN (см. рисунок) и рассмотрим прямоугольный треугольник LNO. Тангенс угла AOL (то же самое что и тангенс угла NOL) равен

.

Найдем стороны LN и NO. Рассмотрим прямоугольный треугольник APB, из которого по теореме Пифагора находим

,

соответственно,

.

Длина отрезка  , так как точка L составляет 4/5 от длины отрезка AM, и следовательно, ее проекция N на отрезок AO составляет 4/5 от точки A, оставшаяся часть составляет 1/5. Получаем:

.

Для нахождения LN рассмотрим прямоугольный треугольник MOA, где

,

так как  , получаем

и

,

откуда

.