Задание 14. Вариант 4. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 4. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

 В правильной треугольной усечённой пирамиде ABCA1B1C1 площадь нижнего основания ABC в девять раз больше площади меньшего основания А1В1С1. Через ребро АВ проведена плоскость α, которая пересекает ребро CC1 в точке N и делит пирамиду на два многогранника равного объёма.

а) Докажите, что точка N делит ребро CC1 в отношении 5 : 13, считая от точки C1.

б) Найдите площадь сечения усечённой пирамиды плоскостью α, если высота пирамиды равна 13, а ребро меньшего основания равно 3.

Решение.

а) По условию задания  . Тогда, в соответствии с рисунком, имеем:

откуда

то есть,

           (1)

Объем  , а объем усеченной пирамиды ABCA1B1C1, равен:

Подставляем эти величины в формулу (1), получаем:

откуда

Треугольники CC1M и CNP подобны по двум углам, значит,

следовательно,

б) По условию задания площадь треугольника ABC в 9 раз больше площади треугольника A1B1C1, значит, линейные размеры (стороны) треугольника ABC в 3 раза больше соответствующих сторон треугольника A1B1C1, значит, AB=3A1B1=9.

Так как треугольник A1B1C1 – равносторонний со сторонами 3, радиус описанной вокруг него окружности равен

Автоматически получаем, что

Отрезок

и, учитывая (из п. а), что

откуда

А отрезок

Рассмотрим равносторонний треугольник ABC, в котором

Далее,

Из прямоугольного треугольника FPN, имеем:

И площадь треугольника ABN, равна:

Ответ: 48,5.