Задание 14. Вариант 8. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. Вариант 8. ЕГЭ 2020 из 36 вариантов.

Задание 14. Основанием пирамиды TABCD является прямоугольник ABCD со сторонами АВ = 26 и ВС= 18. Все боковые рёбра пирамиды равны 10√5. На рёбрах АВ и CD отмечены соответственно точки N и М так, что BN = DM = 12. Через точки N и М проведена плоскость α, перпендикулярная ребру ТА.

а) Докажите, что плоскость α проходит через точку K — середину ребра ТА.

б) Найдите расстояние между прямыми ТС и KN.

Решение.

а) В основании пирамиды лежит прямоугольник ABCD и AB=DC,  . Пусть точка O – точка пересечения AC и MN, причем NB=DM,  . Отсюда следует, что O – середина AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, из которого

Из треугольника ATC, имеем:

значит, треугольник ATC – прямоугольный с гипотенузой AC и углом ATC равным 90°.

Плоскость  , значит,  , следовательно, прямая OK должна быть средней линией треугольника TAC, а K лежать на середине стороны AT.

б) Расстояние между прямыми TC и KN равно расстоянию от прямой TC до параллельной ей плоскости α, содержащей прямую KM. Следовательно, искомое расстояние равно длине перпендикуляра TK проведенного от прямой TC к плоскости α:

Ответ: 5√5